Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Faça um esboço da região R do plano x y limitada pelas curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x e pelas retas x = 0 e x = π 2 . Expresse as grandezas abaixo utilizando integrais. Não é preciso calcular as integrais.

  1. A área de R ;
  2. O volume do sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo x .

Passo 1

(a)

Sempre bom dar uma visualizada no problema, então vamos começar esboçando a região R .

O gráfico do seno de 0 a π 2 é:

E o do cosseno:

Então a nossa região R   é assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Repara que os gráficos se encontram bem no meio do intervalo, em x = π 4 , já que

cos ⁡ π 4 = sen ⁡ π 4 = 2 2

Para x ∈ 0 , π 4 , o gráfico do cosseno está em cima do gráfico do seno, e para x ∈ π 4 , π 2 , o seno é que está em cima.

Portanto, a área da região R é dada por:

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x - sen ⁡ x d x + ∫ π 4 π 2 sen ⁡ x - cos ⁡ x d x

Passo 3

(b)

O volume sai pelo método dos anéis circulares.

A fórmula geral pra uma rotação em torno do eixo x é

V = ∫ a b π f c i m a 2 - f b a i x o 2 d x

Então no nosso caso:

V = ∫ 0 π 4 π c o s 2 x - sen 2 ⁡ x d x + ∫ π 4 π 2 π sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

Resposta

(a)

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x - sen ⁡ x d x + ∫ π 4 π 2 sen ⁡ x - cos ⁡ x d x

(b)

V = ∫ 0 π 4 π c o s 2 x - sen 2 ⁡ x d x + ∫ π 4 π 2 π sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

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