Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelas curvas:

a )   x = 5 y 2 ,   x = 0 .   y = - 1 ,   y = 1

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado quer que calculemos o sólido de revolução da seguinte região delimitada pelas seguintes curvas

x = 5 y 2 ,   x = 0 .   y = - 1 ,   y = 1

em que a rotação é realizada em torno do eixo y . Temos que a região é a seguinte

Que após rotacionada em torno do eixo y forma o seguinte sólido

É como se fosse uma ampulheta curvada! Consegue visualizar? Mas como calculamos o volume disso? Quando temos sólidos que não tem nenhum buraco no meio, é bastante conveniente usar o método dos discos, você deve estar se perguntando, e o que é isso? Trata-se de fazer a soma de diversos discos infinitesimais, de raio dado pela função que limita a borda do sólido, e altura dada por d y , de forma que o volume é

V   =   ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y

Essa fórmula pode aparecer com outros formatos, mas quando estamos rotacionando em torno do eixo y este formato serve! Os limites a e b , indicam onde o sólido começa e termina no eixo y . Vamos tentar resolver? Vem comigo!

Passo 2

Utilizando nossa função como f ( y ) = 5 y 2 e os limites de integração como a = 0 e b = 1 , temos a seguinte integral para o volume

V 2   =   π ∫ 0 1 [ 5 y 2 ] 2 d y = 5 π ∫ 0 1 y 4 d y

Mas note que eu considerei apenas de 0 até 1 , e não todo o intervalo de - 1 até 1 , é porque abaixo do eixo x temos o mesmo sólido que na parte de cima, só precisamos lembrar de multiplicar o resultado final por 2 ! Agora é só resolver esta integral! E, a questão acabou! hehehehe! No entanto, esta integral é bastante direta, podemos identificar a seguinte primitiva

∫ a b y n d y = y n + 1 n + 1 | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

Vamos utilizar isso para calcular então a nossa integral! Saca só!

Passo 3

Temos que o volume resulta em

V 2   = 5 π [ y 4 + 1 4 + 1 ] | 0 1 = π [ 1 5 - 0 5 ]

Portanto, temos finalmente que

V 2   = π

Ou, simplesmente

V = 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V = 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .