Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

13 .   R : y = ln ⁡ x ,   y = x - 1 e - 1 ;

            E : e i x o   x

Passo 1

Por cascas cilíndricas, primeiro definimos funções de y : y = ln ⁡ x → x = e y ; y = x - 1 e - 1 → x = y e - 1 + 1 . Para achar os limites de integração, igualamos:

e y = y e - 1 + 1

Essa equação de cara é meio chata de resolver, mas é possível usar umas malandragens. Por exemplo, podemos tentar colocar y = 0 nos dois lado da equação. Fazendo:

e 0 = 0 e - 1 + 1

1 = 1

Então y = 0 é solução da equação!

Outra rataria é perceber que tem e y de um lado e um e do outro, assim podemos testar y = 1 pra ficar e dos dois lados, desse jeito:

e 1 = 1 e - 1 + 1

e - 1 = e - 1

y = 1 também é solução da equação.

Então nossos limites de integração são 0 e 1 . Nossa integral fica:

∫ 0 1 2 π y 1 + y e - 1 - e y d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Por anéis circulares, as curvas estão dadas de bandeja, a dificuldade é achar os limites de integração. Para isso, temos que igualar as funções:

ln ⁡ x = x - 1 e - 1

Essa equação de cara é meio chata de resolver, mas é possível usar umas malandragens. Por exemplo, podemos tentar zerar os dois lado da equação. Fazendo:

ln ⁡ x = 0 → x = 1

x - 1 e - 1 = 0 → x = 1

Então x = 1 é solução da equação!

Outra malandragem: olhando do lado direito temos x - 1 sendo dividido por e - 1 . Parece tentador testar x = e , assim:

e - 1 e - 1 = 1

Além disso,

ln ⁡ e = 1

Então nossos limites de integração são 1 e e . Nossa integral fica:

∫ 1 e π ln ⁡ x 2 - x - 1 e - 1 2 d x

Passo 3

Para encontrar o volume, basta resolver uma dessas integrais, já que elas representam a mesma quantidade.

∫ 0 1 2 π y 1 + y e - 1 - e y d y = ∫ 0 1 2 π y + 2 π y 2 e - 1 - 2 π y e y d y

= π y 2 + 2 π y 3 e - 1 3 0 1 - 2 π ∫ 0 1 y e y d y = π + 2 π e - 1 3 - 2 π ∫ 0 1 y e y d y

Nesse caso, vamos ter que fazer uma integração por partes. Lembra da fórmula?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando u = y → d u = d y e d v = e y d y → v = e y

2 π ∫ 0 1 y e y d y = 2 π y e y 0 1 - 2 π ∫ 0 1 e y d y = 2 π

Substituindo na expressão ali cima:

= π + 2 π e - 1 3 - 2 π = 2 π e - 1 3 - π = π 2 e - 5 3

Resposta

∫ 1 e π ln ⁡ x 2 - x - 1 e - 1 2 d x = ∫ 0 1 2 π y 1 + y e - 1 - e y d y = π 2 e - 5 3

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