Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Seja R a região delimitada pelas curvas y = e x e y = e - x e as retas x = 0 e x = 1 2 . O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo O x é:

  1. π e 6 2 + e - 6 2 - 1
  2. π e 2 2 + e - 2 2 - 1
  3. π e 5 2 + e - 5 2 - 1
  4. π   e 2 + e - 1 2 - 1
  5. π e 7 2 + e - 7 2 - 1

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

Vamos dar uma olhada na figura dessa região:

A função que está crescendo é y = e x (está por cima) e a que está decrescendo é y = e - x (que está por baixo).

Queremos o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo O x , que é dado por:

V = π ∫ a b f x 2   d x

Passo 2

Substituindo nossa função, sendo que no nosso caso temos que diminuir uma função da outra, e os intervalos, temos:

V = π ∫ 0 1 2 e x 2 - e - x 2   d x

V = π ∫ 0 1 2 e 2 x - e - 2 x   d x

Vamos fazer isso aqui agora:

V = 2 π ∫ 0 1 / 2 e 2 x - e - 2 x 2   d x

Veja que não alteramos a função fazendo isso...

Passo 3

Vamos lembrar de uma definição agora:

s e n h   x = e x - e - x 2

Então no nosso caso, podemos escrever na integral:

V = 2 π ∫ 0 1 / 2 s e n h   ( 2 x )   d x

Essa integral é bem basiquinha:

∫ s e n h   2 x   d x

Fazendo u = 2 x → d u = 2   d x → d u 2 = d x :

1 2 ∫ s e n h   u   d u = 1 2 cosh ⁡ u → 1 2 cosh ⁡ 2 x

Passo 4

Voltando para a expressão do volume:

V = 2 π ⋅ 1 2 cosh ⁡ 2 x 0 1 2

V = π cosh ⁡ 1 - cosh ⁡ 0

V = π cosh ⁡ 1 - 1

Lembrando da definição de cosseno hiperbólico agora:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Substituindo ali:

V = π e 1 + e - 1 2 - 1

V = π e 2 + e - 1 2 - 1

Prontinho! Esse é o volume procurado!

Resposta

D) π   e 2 + e - 1 2 - 1

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Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( b > a ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a ...