Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Cálculo de Volumes através de Integrais

Considere a região R do plano x y delimitada pela curva de equação y = x 3 - x 4 e pela reta y = 0 (eixo x ).

  1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno da reta y = 0 (eixo x );
  2. Escreva uma integral que corresponda ao volume do sólido gerado pela rotação de R em torno da reta x = 2 . Não precisa calcular a integral.

Passo 1

Pelo método dos discos:

Somando todos os volumes infinitesimais desses disquinhos:

V = ∫ a b π r 2 d x

Sabemos que o raio é igual à altura do gráfico, ou seja, y = f ( x ) :

V = ∫ a b π x 3 - x 4 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos saber onde a função encontra com o eixo O x para sabermos de onde até onde vai a nossa integral:

f x = 0

x 3 - x 4 = 0

x 3 1 - x = 0

Cujas soluções são:

x = 0

x = 1

Portanto, nossa integral é no intervalo 0,1 .

Passo 3

Resolvendo a integral, expandimos o quadrado perfeito:

V = ∫ 0 1 π x 3 - x 4 2 d x = π ∫ 0 1 x 6 - 2 x 7 + x 8 d x

E integramos termo à termo:

V = π x 7 7 - x 8 4 + x 9 9 0 1

Substituindo os valores:

V = π 1 7 - 1 4 + 1 9 = π 252

Passo 4

Vamos desenhar o que se pede:

Girar em torno de um eixo paralelo à y é bom pelo método das casca cilíndricas:

V = ∫ 0 1 2 π D f x d x

Onde D é a distância de um ponto qualquer no eixo O x até a reta desejada. Um ponto qualquer no eixo O x tem equação:

P = x , 0

Portanto a distância vai ser:

D = 2 - x

E a integral:

V = ∫ 0 1 2 π ( 2 - x ) ( x 3 - x 4 ) d x

Resposta

a)

π 252

b)

∫ 0 1 2 π ( 2 - x ) ( x 3 - x 4 ) d x

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