Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Cálculo de Volume através de Integrais

Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

c) Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta x = 3

Passo 1

c )

Vamos começar vendo como fica o gráfico dessa função, temos uma parábola com o coeficiente de x 2 negativo. Além disso, as raízes vão ser

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

A parábola vai ser

Mas ele só quer de 0 à 2 , então vamos ter

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos uma função de x , e estamos rotacionando em uma reta paralela ao eixo y vamos usar o método das cascas cilíndricas. Precisamos achar o raio e a altura da casca, vamos olhar de novo a figura da rotação para nos ajudar

O raio vai ser a distância de 3 à x , porque é a distância da reta que estamos rodando até a função.

r = 3 - x

A altura vai ser a própria função f x

h = f x = 4 - x 2

O volume vai ser

V = ∫ 0 2 2 π 3 - x 4 - x 2 d x = 2 π ∫ 0 2 12 - 3 x 2 - 4 x + x 3 d x

V = 2 π 12 x - 3 x 3 3 - 4 x 2 2 + x 4 4 x = 0 2 = 2 π 12 x - x 3 - 2 x 2 + x 4 4 x = 0 2

V = 2 π 12.2 - 2 3 - 2 . 2 2 + 2 4 4 - 12.0 - 0 3 - 2 . 0 2 + 0 4 4

V = 2 π 24 - 8 - 8 + 16 4 = 2 π 24 - 8 - 8 + 4 = 2 π . 12 = 24 π

Resposta

V = 24 π

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