Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2010.1 – 5

Na figura abaixo, seja A o ponto de interseção da curva y = e x 2 e a reta L , e seja B o vértice da parábola 4 y = x - 2 2 . Suponha que a reta L passa pelos pontos A e B .

Calcule o volume gerado pela rotação da região sombreada S em torno do eixo- y .

Passo 1

Temos o esboço da região S a ser rotacionada em torno de y , mas não temos a função da reta L . Logo, isso é a primeira coisa que temos que achar.

A equação genérica da reta é dada por y = a x + b . Temos dois pontos pertencentes a reta e, tcharan(!), uma reta é definida por dois pontos. Logo, é só substituirmos o x e y pelas coordenadas dos pontos para acharmos a reta.

Depois, iremos calcular o volume de revolução. Repare que vamos ter que dividir a área em duas. Além disso, como queremos rotacionar em torno de y , vamos usar as funções em função de y e não de x . Assim:

∫ a b π ⋅ r direita 2 - π ⋅ r esquerda 2 d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achando as coordenadas de A :

x A = 1 → y A = e x A 2 = e

A : ( 1 , e )

Achando as coordenadas de B :

y B = 0 → 4 y B = x B - 2 2 → x B - 2 = 0 → x B = 2

B : ( 2,0 )

Achando a equação da reta L :

y A = a x A + b → e = a + b       ( 1 )

y B = a x B + b → 0 = 2 a + b       ( 2 )

Fazendo 2 - ( 1 ) :

a = - e → b = 2 e

Logo:

L   : y = - e x + 2 e

Passo 3

Colocando as funções em função de y :

y = e x 2 → ln ⁡ y = x 2 ln ⁡ e → x = ± ln ⁡ y

4 y = x - 2 2 → x = ± 2 y + 2

y = - e x + 2 e → x = 2 e - y e

Como 0 ≤ x ≤ 2 , temos as seguintes curvas:

x = ln ⁡ y ,   x = 2 - 2 y ,   x = 2 e - y e

Vamos dividir a região S em duas regiões da seguinte maneira:

Passo 4

Vamos calcular através de integrais:

S = S 1 + S 2

S 1 = ∫ 0 1 π 2 e - y e 2 - 2 - 2 y 2 d y =

= ∫ 0 1 π 4 e 2 - 4 e y + y 2 e 2 - 4 + 8 y - 4 y d y =

= ∫ 0 1 π - 4 ( 1 + e ) e y + 1 e 2 y 2 + 8 y 1 2 d y =

= π - 2 1 + e e y 2 + 1 3 e 2 y 3 + 16 3 y 3 2 0 1 =

= π - 2 1 + e e + 1 3 e 2 + 16 3 - π ⋅ 0 = π - 2 e + 1 3 e 2 + 10 3

S 2 = ∫ 1 e π 2 e - y e 2 - ln ⁡ y 2 d y =

= ∫ 1 e π 4 - 4 y e + y 2 e 2 - ln ⁡ y d y =

= π 4 y - 2 e y 2 + 1 3 e 2 y 3 1 e - π ∫ 1 e ln ⁡ y d y

Vamos calcular a integral do final pelo método da integração por partes (repare que aparece uma função logarítmica e um d y ).

u = ln ⁡ y → d u = 1 y d y d v = d y → v = y

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ y d y = y ⋅ ln ⁡ y - ∫ y ⋅ 1 y d y = y ( ln ⁡ y - 1 )

Substituindo em S 2 :

= π 4 y - 2 e y 2 + 1 3 e 2 y 3 - y ln ⁡ y - 1 1 e =

= π 4 e - 2 e + e 3 - 0 - 4 - 2 e + 1 3 e 2 + 1 =

= π 7 e 3 - 5 + 2 e - 1 3 e 2

Calculando a área total:

S 1 + S 2 = π - 2 e + 1 3 e 2 + 10 3 + π 7 e 3 - 5 + 2 e - 1 3 e 2 =

= π - 5 3 + 7 e 3 = π 7 e - 5 3

Resposta

O volume é igual a

π 7 e - 5 3 .

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