Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Q01V) Responda às perguntas abaixo no espaço adequado no seu caderno de respostas. As soluções devem ser sucintas e a resposta final deve estar destacada do restante da solução.

  1. A integral π b 2 a 2 ∫ - a a a 2 - x 2   d x representa o volume de um sólido de resvolução. Descreva o sólido

Passo 1

Outra questãozinha de sólido de revolução. Essa pode enrolar um pouco a cabeça, mas saca só, o método dos discos tem essa cara:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Ok, mas como isso ajuda? Bem, ta vendo que tem um π multiplicando um termo ao quadrado? Vamos tentar mexer na integral do enunciado até isso aparecer:

V = π b 2 a 2 ∫ - a a a 2 - x 2 d x

V = ∫ - a a π b 2 a 2 a 2 - x 2 d x

Temos duas opções agora que dão duas respostas diferentes, então vamos separar em passos diferentes. A primeira opção é aplicar a distributiva de π b 2 a 2 e a segunda é aplicar a distributiva só de b 2 a 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamo que vamo, aplicando a distributiva então de π b 2 a 2 , ficamos com:

V = ∫ - a a π b 2 a 2 a 2 - x 2 d x

V = ∫ - a a π b 2 a 2 a 2 - π b 2 x 2 a 2 d x

V = ∫ - a a π b 2 - π b 2 x 2 a 2 d x

Ta vendo que ta cheio de termos ao quadrado do lado do π ? É exatamente isso que queríamos! Ajeitando um pouquinho mais, chegamos em:

V = ∫ - a a π b 2 - π b a x 2 d x

V = ∫ - a a π b 2 d x - ∫ - a a π b a x 2 d x

Isso nada mais é do que do que o volume de um cilindro substraido de um cone duplo. Primeiro olha pro cilindro, ele vai ser a revolução da região retangular abaixo abaixo:

C i l i n d r o = ∫ - a a π b 2 d x

O cone duplo é formado pela revolução em torno do eixo x de dois triângulos. A outra integral representa então o volume da seguinte região rotacionada:

C o n e   d u p l o = ∫ - a a π b a x 2 d x

Se quisermos desenhar a região que vamos rotacionar, já que o volume maior é o do cilindro e ele está desenhado em y > 0 , podemos usar uma forma análoga da região do cone duplo:

O retângulo bege menos essa nova área verde desenhada nos dá a nossa região R :

Sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = b , y = b a x e y = - b a x em torno do eixo x .

Passo 3

Agora bora aplicar a distributiva de b 2 a 2 , ficando com:

V = ∫ - a a π b 2 a 2 a 2 - x 2 d x = ∫ - a a π b 2 a 2 a 2 - b 2 a 2 x 2 d x = ∫ - a a π b 2 a 2 a 2 - x 2 d x

V = ∫ - a a π b 2 a 2 a 2 - x 2 2 d x = ∫ - a a π b a a 2 - x 2 2 d x

Ok, mas e daí? Bem, pensa o seguinte. Se:

f x = y = b a a 2 - x 2

Então caímos exatamente num modelo de método dos discos, mas quem é essa função ai? Bem, vamos dar uma mexida nessa função. Pra começar, vamos elevar ao quadrado os dois lados:

y 2 = b 2 a 2 a 2 - x 2

y 2 = b 2 - b 2 a 2 x 2

b 2 a 2 x 2 + y 2 = b 2

b 2 a 2 b 2 x 2 + y 2 b 2 = 1

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

x a 2 + x b 2 = 1

Opa, peraí, uma equação de curva de elipse? Isso mesmo! A última equação nada mais é do que a equação de uma elipse com semieixos a e b , centrada na origem! Só que como uma elipse não é uma função, na hora de isolarmos o y , chegamos a:

y 2 = b 2 a 2 a 2 - x 2

y = ± b a a 2 - x 2

O que separa a elipse em parte de cima e de baixo, respectivamente as parcelas positiva e negativa. Bem, não importa qual y você insira no método dos discos, como ele vai elevar ao quadrado de novo, o resultado vai ser o mesmo. Mas pra responder uma coisa só, vamos considerar que a região R é:

O sólido é gerado pela rotação em torno do eixo x da parte superior de uma elipse de semi-eixos a e b . Este sólido é chamado elipsóide

Resposta

Existem duas respostas possíveis:

Sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = b , y = b a x e y = - b a x em torno do eixo x .

O sólido é gerado pela rotação em torno do eixo x da parte superior de uma elipse de semi-eixos a e b . Este sólido é chamado elipsóide

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