Divida uma pizza circular de 36 c m de diâmetro através de 2 cortes paralelos de maneira que cada uma das três partes tenha a mesma área

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

Mas relaxa, vou fazê-la passo a passo com você! Bora lá! Temos uma pizza circular de diâmetro 36 c m , ou seja, de raio

r = 18 c m

Beleza? E queremos dividir em três partes iguais: isto é, de forma que cada pedaço tenha 1 3 da área total da pizza

E esse aqui é o pulo do gato!

Uma vez que a gente sabe quanto deve ser a área de cada fatia, a ideia é associar essa área com uma integral definida

Assim vamos poder encontrar o ponto de x em que essa divisão exata acontece!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar fazendo um esboço da região da pizza! Podemos inserir um sistema de coordenadas que coincida com o centro da pizza.

Vamos fazer dois cortes paralelos de tal forma que a área total da pizza ( A ) fique divida exatamente em 3 partes iguais.

Tranquilo até aqui?

O raio do círculo é r = 18 , e ele estará centrado na origem, então

x 2 + y 2 = 18 2 → y = 18 2 - x 2

Mas ainda não sabemos em que ponto (que deve estar entre - 18 < x < 18 ) devemos colocar as nossas retas paralelas a fim de que seja separado exatamente em três. Então vou chamar esse ponto de x = a .

Assim podemos relacionar essas áreas com uma integral definida, dá uma olhada no esboço

Note que se pegarmos a faixa central, vemos que ela pode ainda ser dividida em 4 partes (por conta dos eixos cartesianos e porque garantimos que o círculo está centrado na origem), assim a área hachurada é

A h a c h u r a d a A 3 . 1 4 = A 12

Mas quanto vale a área total? Sabemos o raio da pizza, logo sabemos a área total!

A = π r 2 = 18 2 π

Assim a área hachurada deve valer

A h a c h u r a d a = 18 2 π 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Mas o que isso tudo tem a ver com a integral definida? Tem a ver que sabemos qual é a função que representa essa área! Sabemos também os limites

0 < x < a

E sabemos o quanto essa integral deve dar

A h a c h u r a d a = 18 2 π 2

Combinando tudo isso podemos resolver a integral, aplicar os limites, e determinar qual é o valor de a , ou seja, determinar onde cortar a pizza!

agora vamos montar nossa integral!

A h a c h u r a d a = ∫ 0 a 18 2 - x 2 d x = 18 2 π 2

E agora? Agora é #partiu resolver a integral!

Bora trabalhar nisso?

Passo 4

Precisamos resolver essa integral aqui

18 2 π 2 = ∫ 0 a 18 2 - x 2 d x

Como temos b 2 - x 2 vamos usar substituição trigonométrica!

x = 18 s e n θ → d x = 18 cos ⁡ θ d θ

E os limites? Quando x = 0 :

0 = 18 s e n θ → θ = 0

Agora quando x = a :

a = 18 s e n θ → θ = s e n - 1 a 18

Substituindo temos

18 2 π 2 = ∫ 0 s e n - 1 a 18 18 2 - 18 s e n x 2 . 18 cos ⁡ θ d θ = 18 2 ∫ 0 s e n - 1 a 18 cos 2 ⁡ θ . cos ⁡ θ d θ

Simplificando por 18 2 dos dois lados da igualdade temos

π 2 = ∫ 0 s e n - 1 a 18 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 s e n - 1 a 18 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Aqui usamos a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

E agora é só integrar!

π 2 = θ 2 + s e n 2 θ 2 0 s e n - 1 a 18

Beleza? E agora aplicar os limites de integração

π 2 = 1 2 s e n - 1 a 18 + 1 2 s e n 2 s e n - 1 a 18 - 0

Simplificando o que for possível

π = s e n - 1 a 18 + s e n 2 s e n - 1 a 18

E ficamos com essa coisa linda! É isso! Temos uma equação transcendental e deixamos indicado assim mesmo!

Ufa! Terminamos! Então a resposta é π = s e n - 1 a 18 + s e n 2 s e n - 1 a 18

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

π = s e n - 1 a 18 + s e n 2 s e n - 1 a 18

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .