Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Ver Teoria

Enunciado

Seja R a região limitada pela curva y = x 3 e pelas retas y = 8 e x = 0 . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno, do eixo x = - 1

Passo 1

Primeiro eu preciso desenhar a região:

Repara que a área que eu estou trabalhando é essa entre o vermelho, o pontilhado do nível 8 e o eixo y . Bom, como vou integrar em y , preciso da minha função em y :

y = x 3 → x = y 3

Agora integro no formato da integral para seções transversais. Repara só em uma coisa, minha função raio será a própria função + 1 , já que o eixo de rotação dista 1 do eixo y :

V = ∫ a b π f y 2 d y = ∫ 0 8 π y 1 3 + 1 2 d y

= π ∫ 0 8 y 2 3 + 2 y 1 3 + 1 d y = π y 5 3 5 3 + 2 y 4 3 4 3 + y 0 8 = π 8 5 3 5 3 + 2 8 4 3 4 3 + 8

= π 96 5 + 96 4 + 8 = π 1024 20 = 256 π 5

E aí, acabou? Não, é essencial que você não esqueça que entre o eixo y e o de rotação fica um vácuo que você precisa levar em conta. Ele vai gerar um cilindro de raio 1 e altura 8 , ou seja:

V c i l = π r 2 h = 8 π

O volume total da figura, então, é:

256 π 5 - 8 π = 216 π 5

Resposta

V = 216 π 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( b > a ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a ...