Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

13 .   R : x y = 4 ,   x + y = 5 ;

            E : y = 1

Passo 1

Por cascas cilíndricas, primeiro definimos funções de y : x y = 4 → x = 4 y ; x + y = 5 → x = 5 - y . Para achar os limites de integração, igualamos:

4 y = 5 - y → y 2 - 5 y + 4 = 0 → y = 1   o u   y = 4

Então, a nossa integral fica:

∫ 1 4 2 π y - 1 5 - y - 4 y d y

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Passo 2

Por anéis circulares: a rotação é em torno de uma reta paralela ao eixo x , temos que definir funções do tipo y = f ( x ) , então fazemos y = 4 x     e     y = 5 - x . Para achar os limites de integração, basta igualar as funções:

4 x = 5 - x → x 2 - 5 x + 4 = 0 → x = 1   o u   x = 4

Então, a nossa integral fica:

∫ 1 4 π 5 - x - 1 2 - 4 x - 1 2 d x

Passo 3

Para encontrar o volume, basta resolver uma dessas integrais, já que elas representam a mesma quantidade.

∫ 1 4 2 π y - 1 5 - y - 4 y d y = ∫ 1 4 10 π y - 2 π y 2 - 8 π - 10 π + 2 π y + 8 π y d y

∫ 1 4 12 π y - 2 π y 2 - 18 π + 8 π y d y = 6 π y 2 - 2 π y 3 3 - 18 π y + 8 π l n ⁡ ( y ) 1 4 = 2 π ( 8 ln ⁡ 2 - 3 )

Resposta

∫ 1 4 π 5 - x - 1 2 - 4 x - 1 2 d x = ∫ 1 4 2 π y - 1 5 - y - 4 y d y = 2 π 8 ln ⁡ 2 - 3

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