A região sob o gráfico de y = sin ⁡ x / cos 3 ⁡ ( x ) no intervalo [ 0 , π / 4 ] é girado em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido gerado.

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite, boa madrugada! Vamos resolver mais uma questãozinha?

Para facilitar a nossa vida vamos dar uma olhada na região que nos foi pedida, beleza? Temos o seguinte:

A curva verde representa nossa função, e as linhas azul e vermelha representam os limites estabelecidos. Se rotacionarmos isso em torno do eixo x vamos obter o seguinte gráfico:

Note que eu deixei em evidência um pequeno disco de espessura d x e raio dado pela função f x = sin ⁡ ( x ) / cos 3 ⁡ ( x ) . Portanto, vamos tentar usar o método dos discos para calcular o volume deste sólido de revolução! Belezinha?

Passo 2

O método dos discos é tal que o volume será dado por:

V = ∫ 0 π / 4 π f x 2 d x = π ∫ 0 π / 4 sin 2 ⁡ x cos 6 ⁡ ( x ) d x  

Integral assustadora neh? Mas tem algumas identidades que vão facilitar a nossa vida! Primeiro vamos lembrar que:

tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ x cos ⁡ x

E que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

De forma que temos:

V = ∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ ( x ) sec 4 ⁡ ( x ) d x

Não parece que melhorou muito! Mas na verdade, isso é a nossa salvação! Vem comigo!

Passo 3

Se usarmos que:

sec 2 ⁡ ( x ) = tan 2 ⁡ ( x ) + 1

Temos que:

V = ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1 sec 2 ⁡ x d x = →

→ = π ∫ 0 π / 4 tan 4 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x + π ∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x

Isso parece feio! Mas por incrível que pareça, podemos resolver por substituição simples! Saca só!

Passo 4

Se considerarmos que u = tan ⁡ ( x ) e d u = sec 2 ⁡ ( x ) d x em ambas as integrais, temos:

V = π ∫ u 0 u π 4 u 4 d u + π ∫ u 0 u π 4 u 2 d u

De forma que podemos identificar as primitivas para obter:

V = π u 5 5 ​ u 0 u π 4 + π u 3 3 ​ u ( 0 ) u π 4

Ou voltando para a variável original:

V = π tan 5 ⁡ x 5 ​ 0 π 4 + π tan 3 ⁡ x 3 ​ 0 π 4 = →

→ = π tan 5 ⁡ π 4 - tan 5 ⁡ 0 5 + π tan 3 ⁡ π 4 - tan 3 ⁡ 0 3 = →

→ = π 5 + π 3 = 8 π 15

Aí está nosso volume! Bora para a próxima hehehehe! Tchauzinho!

Resposta

V = 8 π 15

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .