Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Um fabricante de móveis em madeira produz pés de apoio para móveis a partir de blocos de madeira que serão torneados por uma serra de fita que segue o traçado de uma curva determinada por y = x , de x = 1 até x = 4 .

Os pés de apoio são obtidos quando a região sob a curva é girada em torno do eixo x . Encontre o volume V de cada pé de apoio produzido por este método.

(a) V = 152   u . v .

(b) V = 3 π 2   u . v .

(c) V = 2 1 π   u . v .

(d) V = 15   u . v .

(e) V = 15 π 2   u . v .

Passo 1

Estamos tomando essa área aqui:

E girando em torno do eixo x para formar um volume. Existe uma fórmula para esse caso:

V = π ∫ 1 4 f x 2   d x

Agora é só resolver essa integral:

V = π ∫ 1 4 x 2   d x

Passo 2

Como a integral de x 2 é x 3 / 3 , se substituirmos os limites de integração:

V = π ∫ 1 4 x 2   d x = π 4 3 3 - 1 3 3 = 63 3 π = 21 π   u . v .

Pronto!

Resposta

Letra (c).

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