Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2 y = x + 4 , y = x e x = 0 , em torno:

c ) da reta x = 4 , usando o método do anel.

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado pede para que calculemos o volume do sólido de revolução da região delimitada pelas retas

2 y = x + 4 , y = x e x = 0

Esta região é a seguinte

A reta superior intercepta o eixo y em y = 2 e a reta inferior em y = 0 , a intersecção entre as duas acontece em y = x = 4 . Nesta alternativa precisamos realizar a revolução em torno da reta constante x = 4 , de forma que obtemos o seguinte sólido de revolução

A linha azul é a reta y = x + 4 2 , a linha vermelha a reta y = x , e reta verde indica a reta x = 4 . O enunciado nos pede para utilizarmos o método dos anéis, que é bem útil quando temos um buraco dentro do sólido! Vamos relembrá-lo rapidamente!

Passo 2

O método dos anéis se trata em calcular o volume do sólido sem considerar o buraco e depois remover o volume do buraco, pelo método dos discos, temos que o volume do sólido sem buraco é dado por

V = π ∫ a b [ f ( y ) ] 2 d y

que calcula o volume de um cilindro de raio r = 4 - f ( y ) , função que pode ser obtida através da reta y = x + 4 2 , de forma que

x = f ( y ) = 2 y - 4

No entanto, isso é verdade apenas no intervalo de y = 2 até y = 4 , antes disso, no intervalo de y = 0 até y = 2 , temos simplesmente um cilindro de raio r = 4 , portanto, temos que o volume sem buraco é

V c o m p l e t o = π ∫ 0 2 [ 4 ] 2 d y + π ∫ 2 4 [ 4 - 2 y + 4 ] 2 d y = 16 π ∫ 0 2 d y + π ∫ 2 4 [ 8 - 2 y ] 2 d y

Podemos expandir o quadrado, e separar em diversas integrais, temos que

V c o m p l e t o = 16 π ∫ 0 2 d y + 64 π ∫ 2 4 d y - 32 π ∫ 2 4 y d y + 4 π ∫ 2 4 y 2 d y

mas e o “volume” do buraco? É bastante similiar, mas agora usamos um cilindro com raio r = 4 - g ( y ) , em que g ( y ) = x = y . De forma que

V b u r a c o = π ∫ 0 4 [ y ] 2 d y = π ∫ 0 4 y 2 d y

O método dos anéis nos indica então que o volume total é simplesmente

V = V c o m p l e t o - V b u r a c o = 16 π ∫ 0 2 d y + 64 π ∫ 2 4 d y - 32 π ∫ 2 4 y d y + 4 π ∫ 2 4 y 2 d y - π ∫ 0 4 y 2 d y

Vamos agora, resolver nossas integrações! Vem comigo!

Passo 3

Aqui precisamos identificar primitivas da forma

∫ a b y n d y = 1 n + 1 [ y n + 1 ] | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

Para n = 0 , temos que

∫ 0 2 d y = [ y ] | 0 2 = [ 2 - 0 ] = 2

da mesma forma, temos a integral com limites de integração diferentes

∫ 2 4 d y = [ y ] | 2 4 = [ 4 - 2 ] = 2

analogamente, para n = 1 , temos que

∫ 2 4 y d y = 1 2 [ y 2 ] | 2 4 = 1 2 [ 4 2 - 2 2 ] = 6

e, para n = 2 , temos

∫ 2 4 y 2 d x = 1 3 [ y 3 ] | 2 4 = 1 3 [ 4 3 - 2 3 ] = 56 / 3

A última integral no entanto tem limites de integração diferentes, e obtemos novamente para n = 2 , que

∫ 0 4 y 2 d x = 1 3 [ y 3 ] | 0 4 = 1 3 [ 4 3 - 0 3 ] = 64 / 3

Com estes resultados em mão podemos escrever que

V = 16 π ( 2 ) + 64 π ( 2 ) - 32 π ( 6 ) + 4 π ( 56 / 3 ) - π ( 64 / 3 )

Ou, simplesmente

V = 32 π + 128 π - 192 π + 224 π / 3 - 64 π / 3 = - 32 π + 160 π / 3

de forma que

V = 64 π / 3

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V = 64 π / 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .