Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Seja R a região delimitada pelas curvas y = x 2 + 4 x - 2 , y = x - 2

a) Esboce a região R

b) Determine a área da região R

c) Seja S o sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta y = - 1 . Expresse o volume S por uma ou mais integrais.

d) Calcule o volume de S

Passo 1

a) A região R é a região verde esboçada abaixo.

Os pontos de interseção ocorrem quando

x 2 + 4 x - 2 = x - 2

x 2 + 3 x = 0

x = - 3   e   x = 0

Entao as coordenadas dos pontos de interseção são ( 0 ,   - 2 ) e ( - 3 ,   - 5 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A área de R pode ser calculada por meio de uma integral definida que tem como limites de integração os pontos de interseção das duas curvas, isto é, x = 0 e x = - 3 . Como na região R a curva y = x - 2 é maior que a curva y = x 2 + 4 x - 2 a integral que representa a área terá a seguinte cara:

A = ∫ - 3 0 x - 2 - x 2 + 4 x - 2 d x

E agora é só resolver:

A = ∫ - 3 0 - x 2 - 3 x d x = - x 3 3 - 3 x 2 2 - 3 0 = 0 - - - 3 3 3 - 3 - 3 2 2 = 0 - 9 - 27 2 = 9 2

Passo 3

c) Observe o esboço abaixo

Ao rotacionar a área R em torno de y = - 1 formaremos anéis cujos raios são:

R = f x - a

Como o eixo de rotação, como é y = - 1 e não y = 0 , o raio de rotação não vai ser a própria altura da função e sim menor. Estando o eixo de rotação afastado de uma unidade do eixo x : R = f x - 1

Se entendermos a região verde como a subtração da azul pela bege:

Achamos o volume da região verde subtraindo o volume da região azul rotacionada pelo volume da bege rotacionada. Como f x para a região azul é x 2 + 4 x - 2 e pra bege é x - 2 , temos:

V = ∫ - 3 0 π x 2 + 4 x - 2 - 1   ² d x - ∫ - 3 0 π x - 2 - 1 ² d x

V = ∫ - 3 0 π x 2 + 4 x - 3   ² d x - ∫ - 3 0 π x - 3 ² d x

V = ∫ - 3 0 π x 4 + 8 x 3 + 10 x 2 - 24 x + 9 d x - ∫ - 3 0 π x 2 - 6 x + 9 d x

V = ∫ - 3 0 π x 4 + 8 x 3 + 9 x 2 - 18 x d x

Passo 4

d) O volume vai ser descoberto resolvendo a integral encontrada anteriormente.

V = π ∫ - 3 0 x 4 + 8 x 3 + 9 x 2 - 18 x d x = π x 5 5 + 2 x 4 + 3 x 3 - 9 x 2 - 3 0 = 243 π 5

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