Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região, no segundo quadrante, limitada pela curva y =   - x 3 , inferiormente pelo eixo x e à esquerda pela reta x =   - 1 , em torno da reta x =   - 2 .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bom?

Nessa questão precisamos calcular o volume de um sólido de revolução. Ou seja, o volume de um sólido que é obtido pela rotação de uma região plana em torno de um eixo.

No caso desse exercício, a região plana está no segundo quadrante ( x ≤ 0 ,   y ≥ 0 ) e é limitada pelas curvas:

y = - x 3 y = 0   e i x o   x x = - 1

E, o eixo de rotação é a reta x =   - 2 ...

Pois é gente, a rotação não é em torno do eixo x ou y , mas em torno da reta x =   - 2 .

Na prática, isso não vai mudar taanta coisa assim. Para calcular volume de sólidos de revolução, podemos usar o método das cascas, segundo ele:

V =   ∫ a b 2 π | x | ⋅ f x d x

Porém, essa expressão é válida quando rotacionamos em torno do eixo y . Como aqui iremos rotacionar em torno do eixo x =   - 2 , precisamos ajustar o termo | x | que representa a distância até o eixo de rotação. Assim:

V =   ∫ a b 2 π ⋅ x - - 2 ⋅ f x d x

V = ∫ a b 2 π ⋅ x + 2 ⋅ f x d x

Massa! Agora que ajustamos a integral, vamos identificar melhor a nossa região que está sendo rotacionada para depois calcularmos o seu volume de revolução.

Passo 2

Nossa região está no 2 ° quadrante e é limitada pelas curvas:

y = - x 3 y = 0   e i x o   x x = - 1

A primeira curva é o gráfico de uma equação cúbica, em que ( 0,0 ) é a única raiz real, pois:

y =   - x 3 = 0  

⇔ x = 0

Assim, o seu gráfico tem o seguinte formato:

Já as outras duas curvas são mais simples.

y = 0 é o próprio eixo x .

x = - 1 é uma reta vertical passando pelo ponto ( - 1,0 ) .

Adicionando as 3 curvas no mesmo gráfico, e analisando o segundo quadrante, temos:

Perfeito! Essa é a nossa região que será rotacionada.

Passo 3

Agora que já conhecemos essa região, podemos finalmente montar a integral correspondente ao volume do sólido de revolução, V Ω .

Vimos no passo 1 que:

V = ∫ a b 2 π ⋅ x + 2 ⋅ f x d x

Como a nossa região vai de - 1 ≤ x ≤ 0 , temos que x + 2 > 0 . Logo, podemos tirar o módulo:

V Ω = ∫ a b 2 π ⋅ ( x + 2 ) ⋅ f x d x  

Como se trata da região abaixo da curva f x =   - x 3 , temos:

V Ω =   ∫ - 1 0 2 π ⋅ x + 2 ⋅ - x 3 d x

Logo:

V Ω =   2 π ⋅ ∫ - 1 0 - x 4 - 2 x 3 d x

Colocando ( - 1 ) para fora do integrando:

V Ω =   - 2 π ⋅ ∫ - 1 0 x 4 + 2 x 3 d x

⇒ V Ω =   - 2 π ⋅ x 5 5 + 2 x 4 4 - 1 0

=   - 2 π ⋅ 0 - - 1 5 5 + 2 - 1 4 4

Então:

V Ω = - 2 π ⋅ 1 5 - 2 4

∴ V Ω = 3 π 5

Ufaaa! Matamos mais uma questão. É isso pessoal, obrigado pela atenção. Até a próxima 😊

Resposta

3 π 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .