Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Considere a região R limitada pelas curvas y = x e y = x 2 no intervalo 1,2 .

  1. Esboce a região R .
  2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x .

Passo 1

a) Cara, para esboçar essa região R , a gente precisa esboçar as curvas y = x e y = x 2 no mesmo plano, e identificar a região que está entre elas no intervalo 1,2 , beleza? E como a gente faz isso?

Nossas funções são:

y = x

y = x 2

Esperam da gente que saibamos a cara dessas funções (são chamadas de funções simples). A cara de y = x é assim (uma reta que passa pela origem):

E y = x 2 é uma parábola que passa pela origem

Colocando essas duas coisas no mesmo plano, e marcando a região entre elas no intervalo 1,2 , achamos essa região aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para achar a o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x vamos usar o método dos anéis, porque temos um intervalo bem definido em x , x também é nosso eixo de rotação e temos funções de x .

Nesse método, a gente precisa montar a fórmulinha:

V = ∫ a b π f m a i o r 2 - π f m e n o r 2 d x

A f m a i o r representa a função que limita a nossa região por cima, e f m e n o r a função que limita a nossa região por baixo.

Olhando ali no nosso desenho, vemos que quem limita nossa região por cima é a y = x 2 e quem limita nossa região por baixo é a função y = x .

Aí a gente tem que para o nosso caso:

f m a i o r = x 2

f m e n o r = x

E na fórmula, [ a , b ] é o intervalo em que nossa região está. Do enunciado temos que nossa região está no intervalo 1,2 , então:

a = 1 ,   b = 2

E aí a nossa integral para calcular o volume fica:

V = ∫ 1 2 π x 2 2 - π x 2 d x = ∫ 1 2 π x 4 - π x 2 d x

Repara que a gente simplificou ali nossa função usando uma propriedade de potência.

Passo 3

Agora é calcular essa belezura. Uma propriedade diz que podemos fazer a integral de cada uma das funções e depois fazer a subtração:

V = ∫ 1 2 π x 4 - π x 2 d x = ∫ 1 2 π x 4 d x - ∫ 1 2 π x 2 d x = π ∫ 1 2 x 4 d x - π ∫ 1 2 x 2 d x

Percebe que nessas duas integrais, a gente pode usar a regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para a primeira integral temos n = 4 e para a segunda temos n = 2 . Ficamos assim então:

V = π x 4 + 1 4 + 1 1 2 - π x 2 + 1 2 + 1 1 2

V = π x 5 5 1 2 - π x 3 3 1 2 = π 2 5 5 - 1 5 - 8 3 + 1 3 = 58 15 π

Resposta

a)

b) V = 58 15 π  

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