Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas:

f )   y = 1 2 x ,   y = 0 .   x = 1 / 4 ,   x = 4

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado quer que calculemos o sólido de revolução da seguinte região delimitada pelas seguintes curvas

y = 1 2 x ,   y = 0 .   x = 1 / 4 ,   x = 4

em que a rotação é realizada em torno do eixo x . Temos que a região é a seguinte

Que após rotacionada em torno do eixo x forma o seguinte sólido

É como se fosse uma cornetinha! Consegue visualizar? Mas como calculamos o volume disso? Quando temos sólidos que não tem nenhum buraco no meio, é bastante conveniente usar o método dos discos, você deve estar se perguntando, e o que é isso? Trata-se de fazer a soma de diversos discos infinitesimais, de raio dado pela função que limita a borda do sólido, e altura dada por d x , de forma que o volume é

V   =   ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x

Essa fórmula pode aparecer com outros formatos, mas quando estamos rotacionando em torno do eixo x este formato serve! Os limites a e b , indicam onde o sólido começa e termina no eixo x . Vamos tentar resolver? Vem comigo!

Passo 2

Utilizando nossa função como f ( x ) = 1 / 2 x e os limites de integração como a = 1 / 4 e b = 4 , temos a seguinte integral para o volume

V   =   π ∫ 1 / 4 4 [ 1 2 x ] 2 d x = π 4 ∫ 1 / 4 4 1 x d x

Agora é só resolver esta integral! E, a questão acabou! hehehehe! No entanto, esta integral é bastante direta, podemos identificar a seguinte primitiva

∫ a b 1 x d x = l n ( x ) | a b = l n ( b ) - l n ( a )

Vamos utilizar isso para calcular então a nossa integral! Saca só!

Passo 3

Temos que o volume resulta em

V   =   π 4 [ l n ( x ) ] 1 / 4 4 = π 4 [ l n ( 4 ) - l n ( 1 / 4 ) ]

Podemos reescrever isso usando a seguinte propriedade do logaritmo

l n ( b / a ) = l n ( b ) - l n ( a )

Portanto, temos finalmente que

V   = π 4 l n ( 4 / ( 1 / 4 ) ) = π 4 l n ( 16 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V   = π 4 l n ( 16 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .