Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

e )   y = ln ⁡ x ; y = 0 ; x = e ,   em torno do eixo x .

Passo 1

Fala aí gente, tudo na paz com vocês?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = ln ⁡ x y = 0 x = e

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno do eixo x . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A x d x

onde A ( x ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região do plano que será rotacionada em torno do eixo x .

A curva preta representa a equação:

y = ln ⁡ x

E, limita superiormente a nossa região.

Já no eixo x , nossa região é limitada por x = 1 e pela reta x = e (em vermelho). Inferiormente a região é limitada por y = 0 .

Assim, a área da secção transversal do sólido é dada por:

A x = π ⋅ ln ⁡ x 2

Daí, temos o seguinte volume:

V = ∫ 1 e π ⋅ ln ⁡ x d x

Massa!

Passo 3

Vamos resolver a integral que encontramos para o volume:

V = ∫ 1 e π ⋅ ln ⁡ x d x

= π ⋅ ∫ 1 e ln ⁡ x d x

= π ⋅ x ⋅ ln ⁡ x - 1 1 e

Daí:

V = π ⋅ e ⋅ ln ⁡ e - 1 - 1 ⋅ ln ⁡ 1 - 1

V = π

Prontinhooo!

Até a próxima pessoal 😊

Resposta

π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .