Seja f   : R → 0 ,   ∞ uma função contínua. Sabendo-se que o volume do sólido obtido girando o gráfico de f em torno do eixo x   entre x = 0 e x = a é a 2 + a para todo a > 0 , encontre a expressão de f x quando x > 0 .

Passo 1

Vejamos... Pelo método dos discos circulares, esse volume é igual à seguinte integral:

V = ∫ 0 a π f x 2 d x

E foi dado que

V = a 2 + a

Ou seja:

π ∫ 0 a f x 2 d x = a 2 + a

Passo 2

Não sabemos quanto dá essa integral:

∫ 0 a f x 2 d x

Só sabemos que ela é uma função de a . Então podemos escrever:

g a = ∫ 0 a f x 2 d x

Tranquilo? Só chamei de g essa integral, que depende de a . Ou seja, temos

π . g a = a 2 + a

Passo 3

Que tal derivar dos dois lados? Aí vai ficar:

π . g ' a = 2 a + 1

Pra achar g ' a , vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo:

g a = ∫ 0 a f x 2 d x

→ g ' a = f a 2

Beleza? Daí temos

π f a 2 = 2 a + 1

→ f a = 2 a + 1 π

Lembrando que a > 0 . Então, para x > 0 , isso dá no mesmo que:

f x = 2 x + 1 π

Resposta

f x = 2 x + 1 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .