Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Seja f   : R → 0 ,   ∞ uma função contínua. Sabendo-se que o volume do sólido obtido girando o gráfico de f em torno do eixo x   entre x = 0 e x = a é a 2 + a para todo a > 0 , encontre a expressão de f x quando x > 0 .

Passo 1

Vejamos... Pelo método dos discos circulares, esse volume é igual à seguinte integral:

V = ∫ 0 a π f x 2 d x

E foi dado que

V = a 2 + a

Ou seja:

π ∫ 0 a f x 2 d x = a 2 + a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não sabemos quanto dá essa integral:

∫ 0 a f x 2 d x

Só sabemos que ela é uma função de a . Então podemos escrever:

g a = ∫ 0 a f x 2 d x

Tranquilo? Só chamei de g essa integral, que depende de a . Ou seja, temos

π . g a = a 2 + a

Passo 3

Que tal derivar dos dois lados? Aí vai ficar:

π . g ' a = 2 a + 1

Pra achar g ' a , vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo:

g a = ∫ 0 a f x 2 d x

→ g ' a = f a 2

Beleza? Daí temos

π f a 2 = 2 a + 1

→ f a = 2 a + 1 π

Lembrando que a > 0 . Então, para x > 0 , isso dá no mesmo que:

f x = 2 x + 1 π

Resposta

f x = 2 x + 1 π

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