Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

5) Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região delimitada pela curva y = 4 - x 2 e a reta y = 0

Passo 1

Essa questão é bem direto ao ponto! Ou seja, nem vai dar muito trabalho pra gente. Porque, veja bem, o método dos discos...

V = ∫ a b π   f x 2 d x

... Pode ser aplicado diretamente quando queremos rotacionar em torno do eixo x e quando já temos f x . Como a região rotacionada é delimitada pelo próprio eixo x (reta y = 0 ) e a rotação é em torno desse eixo, seja:

f x = 4 - x 2

Vamos ter:

V = ∫ a b π   4 - x 2 2 d x

E quanto aos limites de integração, eles vão ser exatamente os valores de x em que a curva y = 4 - x 2 toca o eixo x , ou seja, vão ser as raízes de f x . Igualando à 0 então:

f x = 4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

Completamos então a expressão do volume. Agora é só calcular a integral:

V = ∫ - 2 2 π   4 - x 2 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos um polinômio dentro do colchete, vamos abrir esse quadrado pra poder calcular a integral:

V = ∫ - 2 2 π   4 - x 2 2 d x = ∫ - 2 2 π   16 - 8 x 2 + x 4 d x

E integrando:

V = π 16 x - 8 x 3 3 + x 5 5 x = - 2 x = 2

V = π 16 . 2 - 8 . 2 3 3 + 2 5 5 - 16 . - 2 - 8 - 2 3 3 + - 2 5 5

V = π 32 - 64 3 + 32 5 - - 32 + 64 3 - 32 5

Continuando as contas, temos:

V = π 32 - 64 3 + 32 5 + 32 - 64 3 + 32 5

V = π 64 - 128 3 + 64 5 = π 960 15 - 640 15 + 192 1 5

V = 512 π 15

Resposta

V = 512 π 15

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