Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

UNICAMP - (Cálculo 1) - P3 2020.1

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x , da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = e 2 x + 2 e x + 17 - x 4

g x = e x + 1

Passo 1

Bora lá galera, força! As funções são feias mas nem tanto! Olha só, a gente quer o volume de um sólido de revolução definido por duas funções. Essa parte em negrito que é o pulo do gato, porque se a gente tivesse funções mais amigáveis, como por exemplo:

Usando o Método dos Discos, o volume seria:

V = ∫ 0 1 π ∙ g x 2   d x - ∫ 0 1 π ∙ f x 2   d x

Isso porque no intervalo de integração, que nada mais é do que os pontos de interseção entre f e g , a função g x está sempre por cima. Se fosse o contrário, o volume seria:

V = ∫ π ∙ f x 2   d x - ∫ π ∙ g x 2   d x

Show, então o que faremos é:

  • Achar os pontos de interseção entre f , g do nosso enunciado
  • Compreender a posição relativa das funções f , g
  • Montar e calcular a integral

Partiu!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pro primeiríssimo passo, podemos igualar as funções. Saca só:

f x = g x

e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 = e x + 1

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 = e x + 1 2

e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 = e 2 x + 2 e x + 1

Rearrumando isso, encontramos:

17 - x 4 = 1

x 4 = 16

x = ± 2

Limites de integração encontradíssimos! Mas e quanto as posições relativas das funções? Pra isso basta a gente fazer:

f x > g x

Se o resultado for exatamente nosso intervalo de integração, então fazemos tranquilamente:

V = ∫ π ∙ f x 2   d x - ∫ π ∙ g x 2   d x

Bora checar? Pra isso, temos:

e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 > e x + 1

O que é bem parecido com o que já fizemos anteriormente, trocando só o sinal de = por um de > . Como da outra vez não multiplicamos nada por - 1 , não precisamos nos preocupar com o sinal > mudando de lado e virando < , o que nos permite pular, já que já vimos, para:

x 4 < 16

E olha só galera! Isso aí vai ser verdade exatameeeeente para:

- 2 < x < 2

Que é nosso intervalo de integração! Tá feito, temos tudo pra montar a integral! O volume será:

V = ∫ - 2 2 π ∙ e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 2   d x - ∫ - 2 2 π ∙ e x + 1 2   d x

Passo 3

Galera, agora é mão na massa, integrar, pegar o resultado, e partir pro abraço. Vamos ter como resultado:

V = ∫ - 2 2 π ∙ e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 2   d x - ∫ - 2 2 π ∙ e x + 1 2   d x

Esses quadrados aí fizemos ambos no passo anterior, então vamos ter:

V = ∫ - 2 2 π ∙ e 2 x + 2 e x + 17 - x 4   d x - ∫ - 2 2 π ∙ e 2 x + 2 e x + 1   d x

V = π ∙ ∫ - 2 2 e 2 x + 2 e x + 17 - x 4   d x - ∫ - 2 2 e 2 x + 2 e x + 1   d x

O que ainda dá pra simplificar mais e virar:

V = π ∙ ∫ - 2 2 e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 - e 2 x + 2 e x + 1     d x

V = π ∙ ∫ - 2 2 e 2 x + 2 e x + 17 - x 4 - e 2 x - 2 e x - 1   d x

V = π ∙ ∫ - 2 2 16 - x 4   d x = π ∙ 16 x - x 5 5 x = - 2 x = 2

Aplicando os limites de integração, temos:

V = π ∙ 32 - 32 5 - - 32 + 32 5

E colocando tudo no mesmo denominador:

V = π ∙ 160 - 32 5 - - 160 + 32 5 = π ∙ 128 5 - - 128 5

V = π ∙ 128 5 + 128 5 = 256   π 5

Uhuuul, cabamos!

Resposta

V = 256   π 5

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