Calcule o volume de uma calota esférica de altura h , h ≤ a , de uma esfera de raio a .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente calcule o volume da seguinte calota esférica de altura h e raio a :

Para isso, a calota esférica pode ser pensada como uma série de fatias infinitesimais, cada uma delas sendo um anel perpendicular ao eixo da calota.

Assim, para calcular o volume, vamos integrar essas fatias!!

Agora vamos juntos!!

😉

Passo 2

Então... Vamos considerar um anel infinitesimal à distância x do vértice da calota. A área da seção transversal desse anel é:

d A = 2 π x d x

Onde d x é a espessura infinitesimal do anel.

O raio do anel é o raio da esfera maior menos a distância x 2 , ou seja:

r = a - x 2

Agora, podemos calcular o volume infinitesimal d V dessa fatia:

d V = r * d A ∴

d V = a - x 2 2 π x d x

Passo 3

Agora, integrando ambos os lados, podemos encontrar o volume V da calota:

V = ∫ 0 h 2 π x a - x 2 d x ∴

V = 2 π a x 2 2 - x 3 2 * 3 h 0 ∴

V = π a h 2 - π h 3 3 ∴

V = π h 2 a - h 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = π h 2 a - h 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .