Com base na figura abaixo, ( a ) determine a área da região S 1 ; e ( b ) determine o volume do sólido gerado pela revolução de S 1 em torno do eixo x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a área da região S 1 que é mostrada na figura e, em seguida, determinar o volume do sólido de revolução que é gerado na rotação dessa região em torno do eixo x . Mas vamos por partes!

Pra determinar a área da região, a gente vai precisar olhar pra figura e ver que temos uma reta por cima da parábola y = x 2 - 6 x + 1 0 , naquela região S 1 . Ele não nos disse qual é a função que define essa reta, mas ele nos deu dois pontos, ( 1 ,   5 ) e ( 6 ,   10 ) . A gente vai usar esses pontos pra calcular a equação geral da reta usando a fórmula:

y - y p = m ( x - x p )

Onde m = Δ y / Δ x é o coeficiente angular da reta e ( x p ,   y p ) é um ponto conhecido.

A partir disso, a gente pode usar a fórmula da área entre curvas pra calcular a área da região:

A = ∫ a b f x - g x d x

Em seguida, pra calcular o volume do sólido de revolução, nós vamos usar a equação:

V = π ∫ a b f x 2 - g x 2 d x

Vamos lá!

Passo 2

Galera, vamos começar definindo a nossa reta. Primeira vamos calcular nosso coeficiente angular:

m = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Onde x 1 ,   y 1 = ( 1 ,   5 ) e x 2 ,   y 2 = ( 6 ,   10 ) . Substituindo, temos:

m = 10 - 5 6 - 1 = 5 5 = 1

E já podemos aplicar na equação da reta:

y - y p = m ( x - x p )

y - 5 = 1 ( x - 1 )

y = x + 4

A gente usou o primeiro ponto pra calcular, mas qualquer um dos dois forneceria o mesmo resultado.

Passo 3

Agora que já sabemos que f x = x + 4 e g x = x 2 - 6 x + 10 , podemos calcular nossa área:

A = ∫ a b f x - g x d x

Repare que o gráfico já nos deu nosso intervalo de integração, que são os pontos onde as curvas se encontram. Assim,

1 ≤ x ≤ 6

E temos:

A = ∫ 1 6 x + 4 - x 2 - 6 x + 10   d x

A = ∫ 1 6 - x 2 + 7 x - 6 d x

Integrando cada termo:

A = - x 3 3 + 7 x 2 2 - 6 x 1 6

Aplicando os intervalos de integração em x , temos:

A = - 6 3 3 + 7 6 2 2 - 6 6 - - 1 3 3 + 7 1 2 2 - 6 1

A = - 72 + 126 - 36 + 1 3 - 7 2 + 6

A = 125 6

Passo 4

Agora só falta a gente determinar o volume do sólido gerado pela revolução de S 1 em torno do eixo x . Pra isso, nós vamos usar a equação:

V = π ∫ a b f x 2 - g x 2 d x

Substituindo f ( x ) e g ( x ) , temos:

V = π ∫ 1 6 ( x + 4 ) 2 - x 2 - 6 x + 10 2 d x

Abrindo esses produtos:

V = π ∫ 1 6 x 2 + 8 x + 16 - x 4 + 12 x 3 - 5 6 x 2 - 120 x - 100 d x

V = π ∫ 0 1 - x 4 + 12 x 3 - 5 5 x 2 + 128 x - 84 d x

Integrando cada termo:

V = π - x 5 5 + 12 x 4 4 - 5 5 x 3 3 + 1 28 x 2 2 - 84 x 1 6

V = π - x 5 5 + 3 x 4 - 55 3 x 3 + 64 x 2 - 84 x 1 6

Agora só falta aplicar os limites de integração:

V = π - 6 5 5 + 3 6 4 - 5 5 3 6 3 + 64 6 2 - 84 ( 6 ) - - 1 5 5 + 3 1 4 - 5 5 3 1 3 + 64 1 2 - 84 ( 1 )

V = 625 3 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 125 6

V = 625 3 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .