Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelas curvas:

c )   x = 2   s e n ( 2 y ) ,   0 ≤ y ≤ π / 2 ,   x = 0

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado quer que calculemos o sólido de revolução da seguinte região delimitada pelas seguintes curvas

x = 2   s e n ( 2 y ) ,   0 ≤ y ≤ π / 2 ,   x = 0

em que a rotação é realizada em torno do eixo y . Temos que a região é a seguinte

Que após rotacionada em torno do eixo y forma o seguinte sólido

É um elipsoide! Consegue visualizar? Mas como calculamos o volume disso? Quando temos sólidos que não tem nenhum buraco no meio, é bastante conveniente usar o método dos discos, você deve estar se perguntando, e o que é isso? Trata-se de fazer a soma de diversos discos infinitesimais, de raio dado pela função que limita a borda do sólido, e altura dada por d y , de forma que o volume é

V   =   ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y

Essa fórmula pode aparecer com outros formatos, mas quando estamos rotacionando em torno do eixo y este formato serve! Os limites a e b , indicam onde o sólido começa e termina no eixo y . Vamos tentar resolver? Vem comigo!

Passo 2

Usando a nossa função x = f ( y ) , com os limites indo de a = 0 até b = π / 2 . Portanto, temos que

V   =   π ∫ 0 π / 2 [ 2   s e n ( 2 y ) ] 2 d y = 2 π ∫ 0 π / 2 s e n ( 2 y ) d y

A integral pode ser resolvida usando que

∫ a b s e n ( c y )   d y = - 1 c c o s ( c y ) | a b = - 1 c [ c o s ( c b ) - c o s ( c a ) ]

para c = 2 , temos que

∫ 0 π / 2 s e n ( 2 y ) d y = - 1 2 [ c o s ( π ) - c o s ( 0 ) ]

Ou, simplesmente

∫ 0 π / 2 s e n ( 2 y ) d y = - 1 2 [ - 1 - 1 ] = 1

já que c o s ( π ) = - 1 e c o s ( 0 ) = 1 . Com este resultado temos que

V   = 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V   = 2 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .