Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2013.1 – 3b

Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta y = - 1

Passo 1

Vamos começar vendo como fica o gráfico dessa função, temos uma parábola com o coeficiente de x 2 negativo. Além disso, as raízes vão ser

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

A parábola vai ser

Mas ele só quer de 0 à 2 , então vamos ter

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcularmos o volume temos que entender que estamos com duas funções ali, uma que é

y = 4 - x 2

E outra que é

y = 0

E vamos rotacionar essa área ao redor da reta y = - 1

Vamos ver um desenho para nos ajudar

Vamos ver a fórmula para o cálculo de cada um dos volumes, como vamos rodar em torno de um eixo paralelo ao eixo x vamos achar A x .

Primeiro da parábola em azul, a área vai ser

A x = π f x - - 1 2 = π 4 - x 2 - - 1 2

Colocamos aquele - 1 porque estamos rotando em torno dele.

A x = π 5 - x 2 2

O seu volume vai ficar

V 1 = ∫ 0 2 π 5 - x 2 2 d x = π ∫ 0 2 25 - 10 x 2 + x 4 d x = π 25 x - 10 x 3 3 + x 5 5 x = 0 2

V 1 = π 25.2 - 10 . 2 3 3 + 2 5 5 - 25.0 - 10 . 0 3 3 + 0 5 5 = π 50 - 80 3 + 32 5 =

V 1 = π 750 - 400 + 96 15 = 446 π 15

Passo 3

Vamos ao cálculo do outro volume, que é a rotação da reta verde.

A área vai ser

A x = π f x - - 1 2 = π 0 - - 1 2

Colocamos aquele - 1 porque estamos rotando em torno dele.

A x = π 1 2 = π

O volume vai ficar

V 2 = ∫ 0 2 π d x = π x x = 0 2 = π 2 = 2 π

Passo 4

O volume total vai ser

V = V 1 - V 2

Isso porque o volume de rotação da reta verde vai ser vazio.

V = 446 π 15 - 2 π = 446 π - 30 π 15 = 416 π 15

Resposta

V = 416 π 15

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