Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta y = - 1

Passo 1

Vamos começar vendo como fica o gráfico dessa função, temos uma parábola com o coeficiente de x 2 negativo. Além disso, as raízes vão ser

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

A parábola vai ser

Mas ele só quer de 0 à 2 , então vamos ter

Passo 2

Para calcularmos o volume temos que entender que estamos com duas funções ali, uma que é

y = 4 - x 2

E outra que é

y = 0

E vamos rotacionar essa área ao redor da reta y = - 1

Vamos ver um desenho para nos ajudar

Vamos ver a fórmula para o cálculo de cada um dos volumes, como vamos rodar em torno de um eixo paralelo ao eixo x vamos achar A x .

Primeiro da parábola em azul, a área vai ser

A x = π f x - - 1 2 = π 4 - x 2 - - 1 2

Colocamos aquele - 1 porque estamos rotando em torno dele.

A x = π 5 - x 2 2

O seu volume vai ficar

V 1 = ∫ 0 2 π 5 - x 2 2 d x = π ∫ 0 2 25 - 10 x 2 + x 4 d x = π 25 x - 10 x 3 3 + x 5 5 x = 0 2

V 1 = π 25.2 - 10 . 2 3 3 + 2 5 5 - 25.0 - 10 . 0 3 3 + 0 5 5 = π 50 - 80 3 + 32 5 =

V 1 = π 750 - 400 + 96 15 = 446 π 15

Passo 3

Vamos ao cálculo do outro volume, que é a rotação da reta verde.

A área vai ser

A x = π f x - - 1 2 = π 0 - - 1 2

Colocamos aquele - 1 porque estamos rotando em torno dele.

A x = π 1 2 = π

O volume vai ficar

V 2 = ∫ 0 2 π d x = π x x = 0 2 = π 2 = 2 π

Passo 4

O volume total vai ser

V = V 1 - V 2

Isso porque o volume de rotação da reta verde vai ser vazio.

V = 446 π 15 - 2 π = 446 π - 30 π 15 = 416 π 15

Resposta

V = 416 π 15

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .