Calcular o volume da região delimitada pelas equações y = 6 x - x 2 , y = 4 , em torno da reta x = 1 . Considere r i = raio interno e r e =raio externo.

a ) No cálculo do volume foi obtido um r i = 2 + - y + 9 e r e = 2 - - y + 9 e um volume superior a 250   u . v .

b ) No cálculo do volume foi obtido um r i = 8 + - y + 12 e r e = 2 - - y + 7 e um volume superior a 350   u . v .

c ) No cálculo do volume foi obtido um r i = 6 + y + 3 e r e = 2 - 3 y + 2 e um volume inferior a 250   u . v .

d ) No cálculo do volume foi obtido um r i = 2 + - y + 9 e r e = 2 - - y + 9 e um volume inferior a 200   u . v .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado nos indica as informações necessárias para calcular o volume de um sólido de revolução, em torno de uma reta constante vertical x = 1 , e cuja região rotacionada é delimitada pelas curvas y = 6 x - x 2 e y = 4 . Vamos primeiro visualizar esta região, ela é a seguinte

Precisamos rotacionar esta região em torno de x = 1 . E então obteremos uma região similar a seguinte

Se fizermos fatias horizontais de espessura d y podemos obter coroas infinitesimais, cujo volume é dado pela área de sua base vezes a sua espessura. A área da base de uma coroa circular, no entanto é π r e 2 - r i 2 . E o volume será a soma de todos estes infinitesimais

V = π ∫ a b r e 2 - r i 2 d y           ( 1 )

Vamos calcular agora o nosso volume!

Passo 2

O primeiro cuidado que devemos ter é relacionado ao raio interno, note que indiquei na figura acima uma reta com y = ? , eu indiquei esta região pois ela indica o momento em que o raio interno muda de valor! Então por facilidade vou calcular o volume de meu sólido até esta região e somar com a volume da região superior mais tarde. Belezinha? Nesta região temos que o sistema é simplesmente um disco com raio dado pela própria função como

y = 6 x - x 2 → x 2 - 6 x + y = 0

Aplicando Bhaskara, temos

x ∓ = 6 ∓ 36 - 4 y 2 = 6 ∓ 2 9 - y 2

Temos que o nosso raio externo será o valor r e = 3 + 9 - y - 1 = 2 + 9 - y . Ainda precisamos de saber o limite superior, precisamos saber qual é o valor máximo de nossa função, isso pode ser obtido pelos métodos de cálculo. Saca só!

Passo 3

O máximo de uma função é obtido quando temos um ponto crítico, ou seja, y ' x c = 0 e temos que y ' ' x c < 0 . Vamos ver se encontramos o valor de x c , temos que

y ' x = d d x 6 x - x 2 = 6 - 2 x  

Que é zero quando 6 - 2 x c = 0 , portanto, x c = 3 . A segunda derivada é tal que y ' ' x = d d x y ' x = - 2 , sempre negativa, portanto, x c necessariamente é o máximo! O valor de y ( x c ) é

y x c = y 3 = 6 3 - 3 2

Que é simplesmente y = 9 . Beleza, temos tudo que precisávamos para resolver nossa integral! Vamos escrevê-la!

Passo 4

Temos nosso volume como

V e x t = π ∫ 4 9 2 + 9 - y 2 d y

Vamos resolver esta integral! Vem comigo!

Passo 5

A primeira coisa aqui é expandir aquele quadrado, temos

V e x t = π ∫ 4 9 2 + 9 - y 2 d y = π ∫ 4 9 4 + 4 9 - y + 9 - y d y

Juntando as constantes, e, separando as integrais temos

V e x t = 13 π ∫ 4 9 d y + 4 π ∫ 4 9 9 - y d y - π ∫ 4 9 y d y           ( 2 )

A primeira e a terceira integral acima podem ser resolvidas identificando suas primitivas. Para a segunda vamos trabalha-la um pouquinho antes! Chega junto!

Passo 6

Vamos considerar a integral

∫ 4 9 9 - y d y

Para enxergar mais facilmente o resultado, vamos fazer uma substituição simples u = 9 - y → d u = - d y , e, portanto,

∫ 4 9 9 - y d y = - ∫ u 4 u 9 u d u = - ∫ 5 0 u 1 / 2 d u

Que pode ser identificada como

- ∫ 5 0 u 1 2 d u = - u 1 2 + 1 1 2 + 1 5 0 = - 2 3 u 3 2 5 0

Avaliando os limites de integração, temos que

∫ 4 9 9 - y d y = - 2 3 0 3 2 - 9 3 2 = 2 3 9 3 2           ( 3 )

Vamos identificar as integrais que faltam agora!

Passo 7

Temos na equação (2) a integral

∫ 4 9 d y = y ​ | 4 5 = 9 - 4 = 5

E, também a integral

∫ 4 9 y d y = y 2 2 ​ | 4 9 = 1 2 81 - 16 = 65 / 2

Ou seja, substituindo ambos estes resultados e a equação ( 3 ) na equação   ( 2 ) , temos

V e x t = 13 π ∫ 4 9 d y + 4 π ∫ 4 9 9 - y d y - π ∫ 4 9 y d y = 13 π 5 + 4 π 2 3 9 3 2 - 65 π 2           ( 4 )

Vou deixá-la assim, pois queremos um valor numérico no final, e não tem porquê ficar mexendo com as frações, certo? Bora calcular o resto do volume que falta!

Passo 8

No entanto, V e x t considera partes que não deveria, e devemos desconsiderar uma parte. Devemos construir um novo volume em que o raio interno tem outro valor, que já obtivemos quando fizemos Bhaskara anteriormente, como tínhamos considerado o valor positivo para o lado mais exterior, o lado mais interior tem que estar relacionado ao sinal negativo, certo? Portanto o raio interno agora é

r i = 3 - 9 - y - 1 = 2 - 9 - y

O limite inferior de integração é y = 5 , indicado pela reta vermelha em minha imagem no Passo 1, é possível obter avaliando a função em x = 1 . Vamos escrever a nossa integral!

Passo 9

Para a parte superior do sólido, temos

V s o b r a = π ∫ 5 9 2 + 9 - y 2 - 2 - 9 - y 2   d y

V s o b r a = π ∫ 5 9 2 - 9 - y 2 d y

Vamos expandir estes quadrados

V s o b r a = π ∫ 5 9 4 + 4 9 - y + 9 - y - 4 - 4 9 - y + ( 9 - y )   d y

Assim como fizemos anteriormente, vamos juntar as constantes e separar as integrais

V s o b r a = π ∫ 5 9 8 9 - y   d y = 8 π ∫ 5 9 9 - y d y

Nós já resolvemos estas integrais antes, mas com limites diferentes! Dá uma olhada lá em cima! No próximo passo vou escrever o resultado mais diretamente, belezinha?

Passo 10

Temos

∫ 5 9 9 - y d y = 2 3 9 3 2 - 5 3 2

E o nosso volume toma a forma

V s o b r a = 8 π ∫ 5 9 9 - y d y = 16 π 3 9 3 2 - 5 3 2         ( 5 )

Agora só precisamos somar os dois volumes! E temos o nosso resultado! Uff...

Passo 11

O volume total do sólido é

V = V e x t - V s o b r a

Que pode ser escrito como

V = 65 π + 8 π 3 9 3 / 2 - 65 π 2 - 16 π 3 9 3 2 - 5 3 2

Resultado que vou jogar na calculadora para obter

V = 63,19   u . v

Ou seja, nenhuma alternativa é verdadeira!

∫ 1 3 + 5 2 π x - 1 ⋅ f x - 4 d x

Resposta

F F F V

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .