Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2 y   =   x + 4 , y   =   x e x   =   0 , em torno:

d) da reta y   =   8 , usando o método do anel.

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes retas:

2 y   =   x   +   4 , y   =   x , x   =   0

Podemos plotar o gráfico e perceber a região amarela foi formada. Olha só!

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor da reta y   =   8 , qual vai ser o volume do sólido? Vem descobri comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método do anel que tem o objetivo de calcular o volume de um sólido com um buraco no meio. Assim como pode ser visto na imagem abaixo, o volume é a diferença entre o volume da região maior e o volume da região menor.

Portanto precisamos saber o raio externo R e e o raio interno R i . Como o sólido rotacional ao redor da reta y   =   L , então:

R e = f x - L

R i = g x - L

Nesse caso, o volume do sólido de revolução obtido pela revolução da região R em torno da reta y   =   8 é dado por:

V = ∫ a b π R 2 d x =   ∫ a b π f x - L 2 - g x - L 2   d x  

Passo 3

Substituindo na fórmula, temos:

V = ∫ 0 4 π x - 8 2 - x + 4 2 - 8 2   d x  

Simplificando a equação.

V = π - ∫ 0 4 1 4 x - 12 2 d x + ∫ 0 4 x - 8 2 d x   = π - 304 3 + 448 3 = 48 π

Prontinho, encontramos o volume do sólido! Curtiu a resolução? Responde Aí ;)

Resposta

48 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .