Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Calcule o volume do sólido produzido pela rotação de

B = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 1 + x 2

ao redor do eixo 0 x .

Passo 1

O gráfico de 1 / ( 1 + x 2 )   é algo assim

E a região B = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 1 + x 2 , é essa aqui

E vamos girar esse negócio em torno do eixo x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelo Método dos Discos Circulares, o volume do sólido produzido pela rotação de B ao redor do eixo x é dado pela integral:

∫ 0 2 π 1 1 + x 2 2 d x = π ∫ 0 2 d x 1 + x 2 2

Passo 3

Esse termo 1 + x 2 está pedindo pra gente usar a substituição trigonométrica:

x = tg ⁡ θ → d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Assim, usamos que

1 + x 2 = 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Adaptando os limites de integração:

x = 0 = tg ⁡ θ → θ = arctg ⁡ 0 = 0

x = 2 = tg ⁡ θ → θ = arctg ⁡ 2

Então a integral vai ficar:

π ∫ 0 2 d x 1 + x 2 2 = π ∫ 0 arctg ⁡ 2 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 2 d θ

=   π ∫ 0 arctg ⁡ 2 1 sec 2 ⁡ θ d θ =   π ∫ 0 arctg ⁡ 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Usando que:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Temos

π ∫ 0 arctg ⁡ 2 cos 2 ⁡ θ d θ = π 2 ∫ 0 arctg ⁡ 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= π 2 θ + sen ⁡ 2 θ 2 0 arctg ⁡ 2 = π 2 arctg ⁡ 2 + sen ⁡ 2 arctg ⁡ 2 2 - 0 - 0

= π 2 arctg ⁡ 2 + sen ⁡ 2 arctg ⁡ 2 2

Passo 5

Ainda podemos simplificar essa resposta! Usando a identidade trigonométrica

sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

sen ⁡ 2 arctg ⁡ 2 2 = 2 sen ⁡ arctg ⁡ 2 cos ⁡ arctg ⁡ 2 2 = sen ⁡ arctg ⁡ 2 cos ⁡ arctg ⁡ 2

Calma que ainda não acabou, ainda dá pra simplificar isso...!

Passo 6

Digamos que x = arctg ⁡ 2 , então

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x = 2

Isso nos diz que

sen ⁡ x = 2 cos ⁡ x

Agora, usando a identidade trigonométrica

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

2 cos ⁡ x 2 + cos 2 ⁡ x = 1

5 cos 2 ⁡ x = 1

cos ⁡ x = 1 5

→ sen ⁡ x = 2 5

Ou seja:

sen ⁡ arctg ⁡ 2 cos ⁡ arctg ⁡ 2 = 1 5 ⋅ 2 5 = 2 5

Passo 7

Voltando pra nossa resposta:

π 2 arctg ⁡ 2 + sen ⁡ 2 arctg ⁡ 2 2 = π 2 arctg ⁡ 2 + sen ⁡ arctg ⁡ 2 cos ⁡ arctg ⁡ 2

Isso vai dar:

π 2 arctg ⁡ 2 + 2 5 = π 2 arctg ⁡ 2 + π 5

Resposta

π 2 arctg ⁡ 2 + π 5

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