USP, Cálculo 1, P3 - 2016, Questão 6
Calcule o volume do sólido produzido pela rotação de
ao redor do eixo .
Passo 1
O gráfico de é algo assim

E a região , é essa aqui

E vamos girar esse negócio em torno do eixo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA
Passo 2
Pelo Método dos Discos Circulares, o volume do sólido produzido pela rotação de ao redor do eixo é dado pela integral:
Passo 3
Esse termo está pedindo pra gente usar a substituição trigonométrica:
Assim, usamos que
Adaptando os limites de integração:
Então a integral vai ficar:
Passo 4
Usando que:
Temos
Passo 5
Ainda podemos simplificar essa resposta! Usando a identidade trigonométrica
Calma que ainda não acabou, ainda dá pra simplificar isso...!
Passo 6
Digamos que , então
Isso nos diz que
Agora, usando a identidade trigonométrica
Ou seja:
Passo 7
Voltando pra nossa resposta:
Isso vai dar:
Resposta