Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

USP, Cálculo 1, P3 - 2016, Questão 6

Calcule o volume do sólido produzido pela rotação de

B = x , y R 2 ; 0 x 2 ,   0 y 1 1 + x 2

ao redor do eixo 0 x .

Passo 1

O gráfico de 1 / ( 1 + x 2 )   é algo assim

E a região B = x , y R 2 ; 0 x 2 ,   0 y 1 1 + x 2 , é essa aqui

E vamos girar esse negócio em torno do eixo x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelo Método dos Discos Circulares, o volume do sólido produzido pela rotação de B ao redor do eixo x é dado pela integral:

0 2 π 1 1 + x 2 2 d x = π 0 2 d x 1 + x 2 2

Passo 3

Esse termo 1 + x 2 está pedindo pra gente usar a substituição trigonométrica:

x = tg θ d x = sec 2 θ d θ

Assim, usamos que

1 + x 2 = 1 + tg 2 θ = sec 2 θ

Adaptando os limites de integração:

x = 0 = tg θ θ = arctg 0 = 0

x = 2 = tg θ θ = arctg 2

Então a integral vai ficar:

π 0 2 d x 1 + x 2 2 = π 0 arctg 2 sec 2 θ sec 2 θ 2 d θ

=   π 0 arctg 2 1 sec 2 θ d θ =   π 0 arctg 2 cos 2 θ d θ

Passo 4

Usando que:

cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2

Temos

π 0 arctg 2 cos 2 θ d θ = π 2 0 arctg 2 1 + cos 2 θ d θ

= π 2 θ + sen 2 θ 2 0 arctg 2 = π 2 arctg 2 + sen 2 arctg 2 2 - 0 - 0

= π 2 arctg 2 + sen 2 arctg 2 2

Passo 5

Ainda podemos simplificar essa resposta! Usando a identidade trigonométrica

sen 2 x = 2 sen x cos x

sen 2 arctg 2 2 = 2 sen arctg 2 cos arctg 2 2 = sen arctg 2 cos arctg 2

Calma que ainda não acabou, ainda dá pra simplificar isso...!

Passo 6

Digamos que x = arctg 2 , então

tg x = sen x cos x = 2

Isso nos diz que

sen x = 2 cos x

Agora, usando a identidade trigonométrica

sen 2 x + cos 2 x = 1

2 cos x 2 + cos 2 x = 1

5 cos 2 x = 1

cos x = 1 5

sen x = 2 5

Ou seja:

sen arctg 2 cos arctg 2 = 1 5 2 5 = 2 5

Passo 7

Voltando pra nossa resposta:

π 2 arctg 2 + sen 2 arctg 2 2 = π 2 arctg 2 + sen arctg 2 cos arctg 2

Isso vai dar:

π 2 arctg 2 + 2 5 = π 2 arctg 2 + π 5

Resposta

π 2 arctg 2 + π 5

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas