Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo y :

( c ) A região do primeiro quadrante limitada à esquerda pelo círculo x 2 + y 2 = 3 , à direita pela reta x = 3 e superiormente pela reta y = 3 .

Passo 1

Ooi pessoal, tudo bemm?

Nesse item devemos determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas:

x 2 + y 2 = 3   n o   1 °   q u a d r a n t e x = 3 y = 3

Pra calcular esse volume, após identificarmos melhor a região de integração, podemos usar o método das cascas. Vocês lembram o que ele diz?

Basicamente, o volume obtido pela rotação da região abaixo da curva f ( x ) é:

V =   ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Show de bola! Então, vem junto comigo para gente aplicar esse raciocínio 😊

Passo 2

Primeiramente, vamos identificar melhor quem é essa região que está sendo rotacionada. Ela é delimitada pelas curvas:

x 2 + y 2 = 3   n o   1 °   q u a d r a n t e x = 3 y = 3

Sabemos, pelo enunciado, que a equação:

x 2 + y 2 = 3

corresponde a um círculo. Além disso, esse círculo está centrado na origem do plano x y e possui raio igual a 3 .

Mas, devemos lembrar que estamos interessados apenas no 1 ° quadrante. Ou seja, na região em que x , y ≥ 0 .

As outras duas curvas que delimitam a região são retas constantes.

y = 3 é uma reta horizontal passando por ( 0 , 3 ) .

x = 3 é uma reta vertical passando por ( 3 ,   0 ) .

Assim, plotando todas essas curvas em um mesmo gráfico e analisando apenas o 1 ° quadrante, temos:

Prontinho gente! Já conseguimos visualizar a nossa região Ω , que será rotacionada.

Passo 3

Agora vamos usar o método das cascas pra montar as integrais.

Aqui é bem importante a gente perceber que, como a região Ω está limitada entre duas curvas, não conseguimos calcular o volume gerado por ela em uma única integral.

Precisamos pensar no seu volume como uma operação do volume gerado pela região abaixo da curva da circunferência, e pelo volume gerado pela região abaixo da reta y = 3 . Assim:

V Ω = V 1 - V 2

V 1 : Volume obtido pela rotação da região abaixo da reta y = 3 .

V 2 : Volume obtido pela rotação da região abaixo da circunferência.

Inclusive, falando nisso...precisamos de uma equação f ( x ) que represente a curva para podermos aplicar o método das cascas. Como podemos fazer isso com a curva vermelha do círculo?

Já que a equação da circunferência é:

x 2 + y 2 = 3

Podemos isolar y :

y =   ± 3 - x 2

E, como estamos no 1 ° quadrante, y ≥ 0 . Logo:

y =   3 - x 2 = f ( x )

Excelente! Vamos então usar:

V =   ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

E montar as integrais para V 1 e V 2 .

Para V 1 , temos f x = 3 , e a curva está no intervalo de 0   a 3 . Logo:

V 1 =   ∫ 0 3 2 π x ⋅ 3 d x

Já para V 2 , como vimos agora há pouco, f x = 3 - x 2   e o intervalo de integração também vai de 0 a 3 . Portanto:

V 2 =   ∫ 0 3 2 π x ⋅ 3 - x 2 d x

Show de bola! Falta apenas calcularmos essas integrais.

Passo 4

Começando pelo cálculo de V 1 :

V 1 =   ∫ 0 3 2 π x ⋅ 3 d x

Colocando as constantes para fora da integral:

V 1 = 2 3 π ⋅ ∫ 0 3 x d x

Resolvendo a integral monomial:

V 1 = 2 3 π ⋅ x 2 2 0 3

V 1 = 2 3 π ⋅ 3 2 2 - 0

⇒ V 1 = 3 3 π

Excelente! Vamos agora para V 2 :

V 2 =   ∫ 0 3 2 π x ⋅ 3 - x 2 d x

Novamente colocando as constantes para fora:

V 2 = 2 π ⋅ ∫ 0 3 x ⋅ 3 - x 2 d x

Para resolver essa integral precisaremos fazer uma mudança de variável. Chamando:

u = 3 - x 2

d u =   - 2 x d x

E, quando x = 0 :

u = 3

quando x = 3 :

u = 3 - 3 = 0

Ajustando a integral para a substituição:

V 2 = 2 π ⋅ ∫ 0 3 - 1 2 ⋅ - 2 x ⋅ 3 - x 2 d x

Fazendo mudança de variáveis:

V 2 = 2 π ⋅ - 1 2 ⋅ ∫ 3 0 u 1 2 d u

Logo:

V 2 =   - π ⋅ 2 3 ⋅ u 3 2 3 0

V 2 =   - π ⋅ 2 3 ⋅ 0 - 2 3 ⋅ 3 3 2

⇒ V 2 =   2 3 π

Boaaaa! É só substituir na equação para V Ω e correr pro abraço:

V Ω = V 1 - V 2

Então:

V Ω = 3 3 π - 2 3 π

⇒ V Ω = 3 π

Uhuuuul! Finalizamos mais uma.

Todo mundo conseguiu acompanhar até aqui? Responde Aí!

Resposta

3 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
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