Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2 y = x + 4 , y = x e x = 0 , em torno:

a ) do eixo x , usando o método do anel.

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado pede para que calculemos o volume do sólido de revolução da região delimitada pelas retas

2 y = x + 4 , y = x e x = 0

Esta região é a seguinte

A reta superior intercepta o eixo y em y = 2 e a reta inferior em y = 0 , a intersecção entre as duas acontece em y = x = 4 . Nesta alternativa precisamos realizar a revolução em torno do eixo x , de forma que obtemos o seguinte sólido de revolução

A linha vermelha é a reta y = x , a linha azul a reta y = x + 4 2 , e reta verde indica o eixo x . O enunciado nos pede para utilizarmos o método dos anéis! Vamos relembrá-lo rapidamente!

Passo 2

O método dos anéis é bem similar ao método dos discos, mas usado quando temos um sólido com um buraco no meio! O segredo é calcular o volume como um todo usando o método dos discos e tirar o “volume” do buraco, ou seja, temos que

V c o m p l e t o =   π ∫ a b [ f ( x ) ] 2 d x

e, da mesma forma, podemos calcular o volume do buraco como

V b u r a c o =   π ∫ a b [ g ( x ) ] 2 d x

em que f ( x ) é a função que gera a borda, em nosso caso, é a reta f ( x ) = y = x + 4 2 , e g ( x ) gera a borda interna, ou neste problema g ( x ) = y = x . Como temos que o volume total é a diferença entre eles, temos que

V   =   V c o m p l e t o -   V b u r a c o = π ∫ a b { [ f ( x ) ] 2 - [ g ( x ) ] 2 } d x

Os valores de a e b são obtidos olhando de quando até quando vai a variável x , em nosso caso é de x = 0 , até x = 4 . Substituindo todas estas informações, temos que

V   = π ∫ 0 4 { [ ( x + 4 ) / 2 ] 2 - [ x ] 2 } d x

expandindo o quadrado, temos que

V   = π ∫ 0 4 { 1 4 [ x 2 + 8 x   + 16 ] - x 2 } d x

Agrupando alguns termos em comum, simplificamos o nosso integrando para

V   = π ∫ 0 4 { 2 x   + 4 - 3 4 x 2 } d x = 2 π ∫ 0 4 x d x + 4 π ∫ 0 4 d x - 3 π 4 ∫ 0 4 x 2 d x

Ótimo! Agora é só resolver! Vamos identificar as primitivas no próximo passo!

Passo 3

Aqui precisamos identificar primitivas da forma

∫ a b x n d x = 1 n + 1 [ x n + 1 ] | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

com n = 0 , temos

∫ 0 4 d x = [ x ] | 0 4 = 4 - 0 = 4

da mesma forma, temos que com n = 1

∫ 0 4 x d x = 1 2 [ x 2 ] | 0 4 = 1 2 [ 4 2 - 0 2 ] = 8

e, para n = 2 , temos

∫ 0 4 x 2 d x = 1 3 [ x 3 ] | 0 4 = 1 3 [ 4 3 - 0 3 ] = 64 3

Com estes resultados em mão podemos escrever que

V   = 2 π ( 8 ) + 4 π ( 4 ) - 3 π 4 ( 64 / 3 ) = 32 π - 16 π

Ou, simplesmente

V = 16 π

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V = 16 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .