Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de

y = x 2 ,       y = x  

Em torno de x = 2 .

Passo 1

Primeiro vou esboçar a região:

Bom, tenho que definir qual vai ser o meu raio de rotação nesse caso aí. Para o volume do sólido gerado na rotação do gráfico vermelho ( y = x ) , fica assim:

r = 2 - x = 2 - y 2  

Pois, se   x é a distância do eixo y até o gráfico e do eixo y até x = 2 a distância é 2 , vale essa relação. Para o azul y = x 2 a mesma coisa:

r = 2 - x = 2 - y

Assim, o volume será dado pela resolução da integral:

V = ∫ a b π { f y 2 - g y 2 } d y = ∫ 0 1 π { 2 - y 2 2 - 2 - y 2 } d y

Repara que com o giro em torno de uma reta paralela ao eixo y eu integro em y . Agora é conta.

Passo 2

∫ 0 1 π 2 - y 2 2 - 2 - y 2 d y = ∫ 0 1 π 4 - 4 y 2 + y 4 - 4 + 4 y - y d y

π - 4 y 3 3 + y 5 5 + 8 3 y 3 2 - y 2 2 0 1 = π - 4 3 + 1 5 + 8 3 - 1 2 = 31 π 30

Resposta

V = 31 π 30

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