Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Ver Teoria

Enunciado

Seja R a região limitada pelas curvas f x = 2 - x 2 e g x = 1 .

  1. Esboce a região R .
  2. Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando R é girado ao redor da reta y = 1 .

Passo 1

Está bem, vamos começar esboçando a região. Temos uma função f x = 2 - x 2 , que é uma parábola côncava para baixo de raízes:

x = ± 2

Atrelando isso a reta y = 1 , temos:

Sendo a parte entre a parábola e a reta, nossa região R .

Passo 2

Queremos girar nossa região em torno da reta y = 1 . Assim, usando o método dos discos cilíndricos, temos:

V = ∫ a b π f x - 1 2 d x

Onde a e b é a interseção. Para calcularmos os dois igualamos f x e g x :

2 - x 2 = 1 ⟹ x = ± 1

Assim ficamos com:

V = π ∫ - 1 1 1 - x 2 2 d x

Como a região é simétrica, podemos fazer:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x 2 2 d x

Sendo:

1 - x 2 2 = 1 - 2 x 2 + x 4

Ficando:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x 2 2 d x = 2 π x - 2 x 3 3 + x 5 5 0 1 = 16 15 π

Resposta

V = 16 15 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada p
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b