Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Seja R a região do plano limitada superiormente pelo gráfico de y = 2 e - x - 1 e inferiormente pelo eixo O x → , com 0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2 .

Determine o volume do sólido obtido pela revolução da região R em torno do eixo O x → .

Passo 1

Para achar esse volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x vamos usar o método dos anéis, isso porque temos um intervalo bem definido em x ,

0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2

x também é nosso eixo de rotação e temos uma função de x .

  y = 2 e - x - 1

Nesse método, a gente precisa montar a fórmulinha:

V = ∫ a b π f m a i o r 2 - π f m e n o r 2 d x

A f m a i o r representa a função que limita a nossa região por cima, e f m e n o r a função que limita a nossa região por baixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado diz que quem limita nossa região por cima é a y = f m a i o r = 2 e - x - 1 e quem limita nossa região por baixo é o eixo x , ou seja, a reta y = f m e n o r = 0 .

E na fórmula, [ a , b ] é o intervalo em que nossa região está. Do enunciado temos que nossa região está no intervalo 0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2 , então:

a = 0 ,     b = ln ⁡ 2

E aí a nossa integral para calcular o volume fica:

V = ∫ 0 ln ⁡ 2 π 2 e - x - 1 2 - π 0 2 d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 π 2 e - x - 1 2 d x

Passo 3

Vamos reescrever esse integrando, abrindo o produto notável:

2 e - x - 1 2 = 2 e - x 2 + 2 2 e - x - 1 + - 1 2

Pela propriedade de potência, a gente tem que 2 e - x 2 = 4 e - 2 x . Aí nosso integrando fica

2 e - x - 1 2 = 4 e - 2 x - 4 e - x + 1

Aí nossa integral fica:

V = π ∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - 2 x - 4 e - x + 1 d x

V = π ∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - 2 x d x - π ∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - x d x + π ∫ 0 ln ⁡ 2 1 d x

Passo 4

Agora é calcular essa belezura. Vamos olhar a primeira integral

∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - 2 x d x

A gente pode resolver ela, fazendo a substituição simples:

u = - 2 x , d u d x = - 2 ∴ d u - 2 = d x

∫ 4 e - 2 x d x = ∫ 4 e u d u - 2 = ∫ - 2 e u d u = - 2 e u = - 2 e - 2 x

∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - 2 x d x = - 2 e - 2 x 0 ln ⁡ 2 = - 2 e - 2 ln ⁡ 2 + 2 e 0

A segunda fica parecida:

∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - x d x

u = - x , d u d x = - 1 ∴ d u - 1 = d x

∫ 4 e - x d x = ∫ 4 e u d u - 1 = ∫ - 4 e u d u = - 4 e u = - 4 e - x

∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - x d x = - 4 e - x 0 ln ⁡ 2 = - 4 e - ln ⁡ 2 + 4 e 0

E a última:

∫ 0 ln ⁡ 2 1 d x = ln ⁡ 2 - 0 = ln ⁡ 2

Passo 5

Nosso volume fica:

V = π ∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - 2 x d x - π ∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - x d x + π ∫ 0 ln ⁡ 2 1 d x

V = π - 2 e - 2 ln ⁡ 2 + 2 e 0 - π - 4 e - ln ⁡ 2 + 4 e 0 + π ln ⁡ 2

Como e 0 = 1 :

V = π - 2 e - 2 ln ⁡ 2 + 2 - π - 4 e - ln ⁡ 2 + 4 + π ln ⁡ 2

Vamos lembrar de umas propriedades de log e potência agora. Podemos reescrever e - ln ⁡ 2 , usando essas propriedades:

- ln ⁡ 2 = - 1 ⋅ ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 - 1 = ln ⁡ 1 2

e - ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 1 2 = 1 2

Podemos reescrever e - 2 ln ⁡ 2 , usando essas propriedades:

- 2 ⋅ ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 - 2 = ln ⁡ 1 2 2 = ln ⁡ 1 4

e - 2 ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 1 4 = 1 4

Aí temos, finalmente, que:

V = π - 2 1 4 + 2 - π - 4 1 2 + 4 + π ln ⁡ 2

V = π - 1 2 + 2 - π - 2 + 4 + π ln ⁡ 2 = 3 π 2 - 2 π + π ln ⁡ 2

V = - 1 2 π + π ln ⁡ 2

Resposta

V = - 1 2 π + π ln ⁡ 2

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