Com base na figura abaixo, ( a ) determine a área da região S 1 , delimitada por y = - 2 x + 4 , y = x 2 + 1 e x = 0 ; e ( b ) determine o volume do sólido gerado pela revolução de S 1 em torno do eixo x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a área da região S 1 que é mostrada na figura e, em seguida, determinar o volume do sólido de revolução que é gerado na rotação dessa região. Mas vamos por partes!

Pra determinar a área da região, a gente vai precisar olhar pra figura e ver que a função y = - 2 x + 4 tá acima da função y = x 2 + 1 , naquela região S 1 . E aí a gente pode usar a fórmula da área entre curvas pra calcular:

A = ∫ a b f x - g x d x

Onde f x = - 2 x + 4 e g x = x 2 + 1 . O enunciado também diz que a região tá delimitada em x = 0 , só não diz até onde. Mas repare que ela vai até o ponto de interseção das curvas, que acontece quando - 2 x + 4 = x 2 + 1 . A partir daí nós vamos definir nossos intervalos de integração.

Por fim, pra calcular o volume do sólido de revolução, nós vamos usar a equação:

V = π ∫ a b f x 2 - g x 2 d x

Vamos lá!

Passo 2

Pra gente encontrar, vamos começar encontrando nossos limites de integração fazendo:

- 2 x + 4 = x 2 + 1

x 2 + 2 x - 3 = 0

Vamos achar as raízes dessa equação, usando Bhaskara:

x = - 2 ± 4 + 12 2 = - 2 ± 4 2

x 1 = 1       e         x 2 = - 3

Mas repara que a nossa região tá somente na parte positiva do eixo x :

Então, vamos escolher o x = 1 . Substituindo em qualquer uma das funções nós obtemos:

y = x 2 + 1 = 1 1 + 1 = 2

Portanto, a nossa interseção tá no ponto ( 1 ,   2 ) . E a nossa região vai de x = 0 até x = 1 .

0 ≤ x ≤ 1

Passo 3

Agora podemos calcular nossa área:

A = ∫ a b f x - g x d x

Substituindo f x = - 2 x + 4 , g x = x 2 + 1 e o intervalo do passo anterior, temos:

A = ∫ 0 1 - 2 x + 4 - x 2 - 1 d x

A = ∫ 0 1 - x 2 - 2 x + 3 d x

Integrando cada termo:

A = - x 3 3 - 2 x 2 2 + 3 x 0 1

A = - x 3 3 - x 2 + 3 x 0 1

Aplicando os intervalos de integração em x :

A = - 1 3 3 - 1 2 + 3 1 - - 0 3 3 - 0 2 + 3 0

A = - 1 3 - 1 + 3

A = 5 3

Passo 4

Agora só falta a gente determinar o volume do sólido gerado pela revolução de S 1 em torno do eixo x . Pra isso, nós vamos usar a equação:

V = π ∫ a b f x 2 - g x 2 d x

Substituindo f ( x ) e g ( x ) , temos:

V = π ∫ 0 1 - 2 x + 4 2 - x 2 + 1 2 d x

Abrindo esses produtos:

V = π ∫ 0 1 4 x 2 - 16 x + 16 - x 4 - 2 x 2 - 1 d x

V = π ∫ 0 1 - x 4 + 2 x 2 - 1 6 x + 15 d x

Integrando cada termo:

V = π - x 5 5 + 2 x 3 3 - 16 x 2 2 + 15 x 0 1

Agora só falta aplicar os limites de integração:

V = π - 1 5 + 2 3 - 8 + 15 - 0

V = 112 15 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 5 3

V = 112 15 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .