Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

USP, Cálculo 1, P3 - 2015, Questão 2 b

Considera a região

R = x , y   R 2 : 0 x 3 2 , - 1 1 - x 2 y 1 1 - x 2

b ) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo 0 y .

Passo 1

Vou redesenhar a mesma região que descobrimos na última questão:

Repara que o eixo agora é o 0 y , que é basicamente o próprio eixo y . Repara que, em primeiro lugar, a figura que vamos rotacionar é simétrica em relação ao eixo x . Vamos dizer então que ela será duas vezes a parte positiva de R rotacionada em torno de y . Nota o seguinte, o raio maior será sempre 3 / 2 e vale de y = 0 até y = 2 . O raio menor vai variar de 1 até 2 , com raio igual à inversa da função y = 1 1 - x 2   , ou seja, x ( y ) dada essa relação; nós invertemos o eixo de rotação, para isso devemos inverter a função igualmente:

y 2 = 1 1 - x 2 1 - x 2 = 1 y 2

x 2 = 1 - 1 y 2 x = 1 - 1 y 2

Ok, então o volume ficará, lembrando que temos que dobrá-lo por estar fazendo ele simetricamente em relação ao eixo x , assim:

V = 0 2 π 3 2 2 d y - 1 2 π 1 - 1 y 2 2 d y

= 0 2 π 3 4 d y - 1 2 π 1 - 1 y 2 d y

π 3 y 4 [ 2 0 - π y + 1 y [ 2 1

= π 3 2 4 + 2 + 1 2 - 1 + 1 1

= π 3 2 + 5 2 - 2

= 2 π

É isso!

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Resposta

V = 2 π       u n i d a d e s   d e   v o l .

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