Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2017.1, Questão ME08

Considere a função f : 1 , I R onde f x = 1 x 4 . Seja S o sólido obtido pela rotação do gráfico de f em torno do eixo x . O volume de S é:

  1. π 9
  2. π 4
  3. π 7
  4. π 6

Passo 1

Escolher o método de cálculo de volume por rotação

Tem dois métodos que podemos usar para calcular o volume S que o enunciado pede. Mas pra gente não enrolar a cabeça, vamos pro que tem aplicação direta: o método dos discos. Dá uma olhada:

S = a b π f x ²   d x

Como diriam os americanos: pedaço de bolo! Tudo que precisamos é resolver uma integralzinha! Mas pra não deixar essa coisa feia ai em cima,vamos destrinchar ela. Primeiro, os limites de integração. Se f : 1 , I R então:

S = 1 + π f x ²   d x = lim c + 1 c π f x ²   d x

E quem é o f x se não a própria função do enunciado? Então vamos tacar ela dentro também:

S = lim c + 1 c π 1 x 4 2   d x = lim c + 1 c π x - 8 d x

Agoraé só resolver a integral!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver a integral

Essa integral a gente tira de letra se lembrarmos da regrinha:

a x b d x =   a x b + 1 b + 1   ,     b - 1   e   b Z

A resolução é direta então:

π x - 8 d x = - π x - 7 7

E aplicando os limites de integração:

1 c π x - 8 d x =   - π x - 7 7 x = 1 x = c = - π c - 7 7 + π 7 = - π 7 c 7 + π 7  

Agora pra fechar com chave de ouro a gente só precisa pegar esse resultado aí e aplicar o limite c + beleza? Então partiu:

S = lim c + 1 c π x - 8 d x = lim c + - π 7 c 7 + π 7 =   π 7

Resposta

L e t r a   C

S = π 7

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