Considere a região R do plano x y delimitada pela curva de equação y = x 3 - x 4 e pela reta y = 0 (eixo x ).

  1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno da reta y = 0 (eixo x );
  2. Escreva uma integral que corresponda ao volume do sólido gerado pela rotação de R em torno da reta x = 2 . Não precisa calcular a integral.

Passo 1

Pelo método dos discos:

Somando todos os volumes infinitesimais desses disquinhos:

V = ∫ a b π r 2 d x

Sabemos que o raio é igual à altura do gráfico, ou seja, y = f ( x ) :

V = ∫ a b π x 3 - x 4 2 d x

Passo 2

Agora precisamos saber onde a função encontra com o eixo O x para sabermos de onde até onde vai a nossa integral:

f x = 0

x 3 - x 4 = 0

x 3 1 - x = 0

Cujas soluções são:

x = 0

x = 1

Portanto, nossa integral é no intervalo 0,1 .

Passo 3

Resolvendo a integral, expandimos o quadrado perfeito:

V = ∫ 0 1 π x 3 - x 4 2 d x = π ∫ 0 1 x 6 - 2 x 7 + x 8 d x

E integramos termo à termo:

V = π x 7 7 - x 8 4 + x 9 9 0 1

Substituindo os valores:

V = π 1 7 - 1 4 + 1 9 = π 252

Passo 4

Vamos desenhar o que se pede:

Girar em torno de um eixo paralelo à y é bom pelo método das casca cilíndricas:

V = ∫ 0 1 2 π D f x d x

Onde D é a distância de um ponto qualquer no eixo O x até a reta desejada. Um ponto qualquer no eixo O x tem equação:

P = x , 0

Portanto a distância vai ser:

D = 2 - x

E a integral:

V = ∫ 0 1 2 π ( 2 - x ) ( x 3 - x 4 ) d x

Resposta

a)

π 252

b)

∫ 0 1 2 π ( 2 - x ) ( x 3 - x 4 ) d x

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .