Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2016.1, Questão 2

Considere as regiões R 1 e R 2 definidas a seguir.

R 1 é a região do primeiro quadrante ( x 0 ,   y 0 ) limitada pela curva x = y 2 , pelo eixo O X e pela reta y = x - 2 .

R 2 é a região limitada pela curva x = y 2 , pelo eixo O Y e pela reta y = 2 .

Sem calcular as integrais, faça o que se pede a continuação.

  1. Faça o esboço de R 1 e de R 2 .
  2. Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse a área da região R 1 .
  3. Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse o volume do sólido obtido pela rotação de R 1 em torno do eixo O X .
  4. Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse o volume do sólido obtido pela rotação de R 2 em torno da reta y = 2 .

Passo 1

Apesar de ter muita coisa para fazer nessa questão, não é necessário calcular as integrais, e isso já ajuda bastante.

Vamos começar pela letra a e esboçar a as regiões.

R 1 está no primeiro quadrante, entre x = 0 e y = 0 e sob a curva x = y 2 , que é uma parábola virada. Temos também a reta y = x - 2 entrando na história, ficando:

Agora, racharemos a interseção entre as curvas e essa será a região R 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos para R 2 . R 2 é a região limitada pela curva x = y 2 , pelo eixo O Y e pela reta y = 2 .

Ou seja, temos a mesma parábola tombada, o eixo y e a reta y = 2 , ficando:

Pronto, esboçamos as regiões!

Passo 3

Vamos tentar expressar a área de R 1 por integrais agora. Observe o esboço da região e veja que a curva superior é sempre a parte de cima da parábola x = y 2 , ou seja:

y = x

Porém, a curva inferior muda. Uma hora é o eixo x e outra passa a ser a reta y = x - 2 . Dessa maneira, precisamos dividir a região em duas e calcular usando duas integrais.

Precisamos ainda determinar o intervalo de integração dessas integrais. Considerando a primeira como sendo aquela com curva inferior sendo o eixo x , vemos, pelo gráfico que o limite inferior de integração é x = 0 e o superior é justamente o ponto onde a curva inferior deixa de ser o eixo x e passa a ser a reta y = x - 2 , ou seja, na interseção desta reta com o eixo x , em:

0 = x - 2 x = 2

Opa! Temos o limite de integração e as curvas, podemos escrever a primeira integral:

A 1 = 0 2 x d x

Vamos para a segunda agora. A segunda começa exatamente onde a primeira termina, ou seja, o limite inferior de integração é x = 2 . O limite superior será a na interseção da reta com a meta de superior da parábola, ou seja, em:

x = x - 2

Elevando ao quadrado e isolando x :

x = x - 2 2 x = x 2 - 4 x + 4 x 2 - 5 x + 4 = 0

x = 1 x = 4

Como x > 2 , ficamos com x = 4 . Esse será o limite superior de integração. Temos a segunda integral agora: A 2 = 2 4 x - x + 2 d x

A área da região será a soma das duas áreas:

A R 1 = 0 2 x d x + 2 4 x - x + 2 d x

Passo 4

Agora precisamos representar o volume de revolução de R 1 em torno do eixo x por integrais. Como estamos girando em torno do eixo x , podemos usar o método dos discos cilíndricos.

Observando o esboço da região novamente, dá para perceber que o volume é o volume da rotação da curva superior y = x menor o volume de rotação da reta y = x - 2

Assim, teremos:

V 1 = 0 4 π x 2 d x = 0 4 π x d x

Agora, a reta não começa em x = 0 , ela só toca o eixo x em x = 2 , como calculamos anteriormente. Assim:

V 2 = 2 4 π x - 2 2 d x

Logo, o volume será: V = V 1 - V 2 = 0 4 π x d x - 2 4 π x - 2 2 d x

Passo 5

  1. Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse o volume do sólido obtido pela rotação de R 2 em torno da reta y = 2 .

Ainda não acabou! Falta rotacionar a região R 2 em torno da reta y = 2 . Novamente, podemos usar o método dos discos cilíndricos, mas temos que olhar com cuidado o esboço.

Rodar essa região em torno da reta y = 2 , consiste simplesmente em roda parte de cima da parábola y = x em torno de y = 2 . O limite inferior de integração visivelmente é zero, o superior é a interseção de y = x com a reta y = 2 . Vamos calcular:

x = 2 x = 4

Assim:

V = 0 4 π 2 - x 2 d x

Pronto, é isso!

Resposta

A R 1 = 0 2 x d x + 2 4 x - x + 2 d x

V R 1 = 0 4 π x d x - 2 4 π x - 2 2 d x

V R 2 = 0 4 π 2 - x 2 d x

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