Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2018.2, Questão Q01V

Q01V) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região entre as curvas y = x 2 + 3 , x = 2 , x = - 2 e y = 2 em torno da reta y   =   1 .

Passo 1

Essa questão vai ser um pouco difícil de fazer sem ajuda gráfica. Então vamos ver que curvas temos:

y = x 2 + 3

x = 2

x = - 2

y = 2

Opa, só uma parábola e retas! Fica até um pouco mais tranquilo de desenhar assim! Como multiplicando o x 2 na parábola temos um número positivo, ela é daquelas com concavidade pra cima. Um esboço bom do gráfico da região que essas curvas fecham é:

Mas olha, queremos essa região rotacionada não ao redor do eixo x e sim ao redor de y = 1 :

Vamos dividir essa região em 2 pra ficar mais fácil de entender, ok? Vamos ter a área A :

E a área B :

Oras, se a região que queremos é igual à região A - B , então o volume do sólido gerado pela rotação de A em torno de y = 1 menos o volume do sólido gerado pela rotação de B em torno de y = 1 nos dá a resposta! Vamos calcular então esses volumes separadamente.

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Passo 2

Começando por A , seja o método dos discos dado por:

V A = a b π R x 2 d x

Como A está delimitado entre x = - 2 e x = 2 , esses vão ser os limites de integração, beleza?

V A = - 2 2 π R x 2 d x

Quanto ao raio do disco R x , dá uma olhada:

O raio sempre parte do eixo de rotação até a curva, para todos os valores de x definidos na região. Sendo o eixo de rotação uma unidade menor do que o valor de f x , para qualquer x que se tome, teremos:

f x = R x + 1

R x = f x - 1

E logo:

V A = - 2 2 π f x - 1 2 d x

Como f x nesse caso é a equação da curva, temos:

V A = - 2 2 π x 2 + 3 - 1 2 d x = - 2 2 π x 2 + 2 2 d x

Agora é só calcular:

V A = - 2 2 π x 2 + 2 2 d x = - 2 2 π x 4 + 4 x 2 + 4 d x

V A = π x 5 5 + 4 x 3 3 + 4 x x = - 2 x = 2 = π 2 5 5 + 4 . 2 3 3 + 4 . 2 - - 2 5 5 + 4 - 2 3 3 + 4 - 2

V A = π 32 5 + 32 3 + 8 - - 32 5 - 32 3 - 8 = π 32 5 + 32 3 + 8 + 32 5 + 32 3 + 8

V A = π 64 5 + 64 3 + 16 = π 192 1 5 + 320 15 + 240 15 = π 192 15 + 320 15 + 240 15

V A = 752 π 15

Passo 3

Agora, partindo pra B , seja o método dos discos dado por:

V B = - 2 2 π R x 2 d x

Pra achar R x agora vamos fazer a mesma coisa:

O raio sempre parte do eixo de rotação até a curva, para todos os valores de x definidos na região. Sendo o eixo de rotação uma unidade menor do que o valor de f x , para qualquer x que se tome, teremos:

f x = R x + 1

R x = f x - 1

E logo:

V B = - 2 2 π f x - 1 2 d x

Como f x nesse caso é uma reta horizontal y = 2 , temos:

V B = - 2 2 π 2 - 1 2 d x = - 2 2 π 1 2 d x = - 2 2 π   d x

Agora é só calcular:

V B = - 2 2 π   d x = π x x = - 2 x = 2 = 2 π - - 2 π = 2 π + 2 π = 4 π

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro falta só juntar os resultados. Como o volume que o enunciado pede é:

V = V A - V B

Vamos ter:

V = 752 π 15 - 4 π

V = 752 π 15 - 60 π 15

V = 692 π 15

Resposta

V = 692 π 15

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