Seja R a região limitada pelas curvas f x = 2 - x 2 e g x = 1 .

  1. Esboce a região R .
  2. Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando R é girado ao redor da reta y = 1 .

Passo 1

Está bem, vamos começar esboçando a região. Temos uma função f x = 2 - x 2 , que é uma parábola côncava para baixo de raízes:

x = ± 2

Atrelando isso a reta y = 1 , temos:

Sendo a parte entre a parábola e a reta, nossa região R .

Passo 2

Queremos girar nossa região em torno da reta y = 1 . Assim, usando o método dos discos cilíndricos, temos:

V = ∫ a b π f x - 1 2 d x

Onde a e b é a interseção. Para calcularmos os dois igualamos f x e g x :

2 - x 2 = 1 ⟹ x = ± 1

Assim ficamos com:

V = π ∫ - 1 1 1 - x 2 2 d x

Como a região é simétrica, podemos fazer:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x 2 2 d x

Sendo:

1 - x 2 2 = 1 - 2 x 2 + x 4

Ficando:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x 2 2 d x = 2 π x - 2 x 3 3 + x 5 5 0 1 = 16 15 π

Resposta

V = 16 15 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .