Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

c) Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta x = 3

Passo 1

c )

Vamos começar vendo como fica o gráfico dessa função, temos uma parábola com o coeficiente de x 2 negativo. Além disso, as raízes vão ser

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

A parábola vai ser

Mas ele só quer de 0 à 2 , então vamos ter

Passo 2

Como temos uma função de x , e estamos rotacionando em uma reta paralela ao eixo y vamos usar o método das cascas cilíndricas. Precisamos achar o raio e a altura da casca, vamos olhar de novo a figura da rotação para nos ajudar

O raio vai ser a distância de 3 à x , porque é a distância da reta que estamos rodando até a função.

r = 3 - x

A altura vai ser a própria função f x

h = f x = 4 - x 2

O volume vai ser

V = ∫ 0 2 2 π 3 - x 4 - x 2 d x = 2 π ∫ 0 2 12 - 3 x 2 - 4 x + x 3 d x

V = 2 π 12 x - 3 x 3 3 - 4 x 2 2 + x 4 4 x = 0 2 = 2 π 12 x - x 3 - 2 x 2 + x 4 4 x = 0 2

V = 2 π 12.2 - 2 3 - 2 . 2 2 + 2 4 4 - 12.0 - 0 3 - 2 . 0 2 + 0 4 4

V = 2 π 24 - 8 - 8 + 16 4 = 2 π 24 - 8 - 8 + 4 = 2 π . 12 = 24 π

Resposta

V = 24 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .