Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Capacitores e Dielétricos

Um capacitor de capacitância C está ligado em paralelo a um resistor de resistência R , conforme a figura. No instante t = 0 a carga do capacitor é Q 0 e a chave é fechada.

a ) Escreva a equação diferencial para a carga Q t na placa superior do capacitor para t > 0 .

b ) Calcule Q t e I t para t > 0 .

c ) Calcule a energia U t armazenada no capacitor. Note que U t não é constante. Calcule d U / d t e interprete o resultado.

Passo 1

a ) Escreva a equação diferencial para a carga Q t na placa superior do capacitor para t > 0 .

Aqui, o potencial fornecido pelo capacitor deve ser totalmente dissipado no resistor, logo:

V R = V C

R I = Q C

Lembrando que, durante a descarga de um capacitor, I = - d Q / d t , teremos:

- R d Q d t = Q C

d Q d t + Q R C = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Calcule Q t e I t para t > 0 .

A solução geral para esse tipo de problema tem a cara:

Q t = A e - t R C

O problema nos disse que, em t = 0 , a carga no capacitor é Q 0 , logo:

Q 0 = Q 0 = A e 0

A = Q 0

Sendo assim:

Q t = Q 0 e - t R C

Uma vez que encontramos a expressão para Q t , para encontrarmos a expressão de I t basta fazer I = - d Q / d t . Portanto:

I t = Q 0 R C e - t R C

Passo 3

c ) Calcule a energia U t armazenada no capacitor. Note que U t não é constante. Calcule d U / d t e interprete o resultado.

A energia armazenada no capacitor é dada por:

U t = Q 2 t 2 C

Substituindo a expressão de Q t que encontramos no item anterior, teremos:

U t = Q 0 e - t R C 2 2 C

Finalmente:

U t = Q 0 2 2 C e - 2 t R C

Passo 4

Uma vez que encontramos a expressão de U t , agora a nossa vida ficou um pouco mais tranquila.

d U t d t = - 2 R C Q 0 2 2 C e - 2 t R C

Organizando esse cara, teremos:

d U t d t = - Q 0 2 R C 2 e - 2 t R C

Concorda que d U t / d t tem, necessariamente, unidade de potência?

Então vamos calcular a potência dissipada no resistor e comparar com a expressão acima, ok?

P R = I 2 t R

P R = Q 0 R C e - t R C 2 R

P R = R Q 0 2 R 2 C 2 e - 2 t R C

P R = Q 0 2 R C 2 e - 2 t R C

Opa! Conseguiu ver que:

P R = - d U t d t

Isso significa que a variação de energia no capacitor é igual à potência dissipada no resistor.

Resposta

a )

d Q d t + Q R C = 0

b )

Q t = Q 0 e - t R C

I t = Q 0 R C e - t R C

c )

U t = Q 0 2 2 C e - 2 t R C

d U t d t = - Q 0 2 R C 2 e - 2 t R C

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