Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Dois condutores A e B no vácuo são conectados diretamente a uma bateria cuja força eletromotriz é igual a ε , conforme mostra a figura. Uma das linhas de campo elétrico originadas pela configuração está alinhada com o eixo Y entre os pontos ( 0,0 , 0 ) e ( 0 , d , 0 ) da superfície dos condutores.

Ao longo desta linha, o campo é dado pela função:

E → = α Q ε 0 y   y ^

onde α é uma constante e Q é a carga (desconhecida) do condutor positivo. Determine:

(a) A carga com sinal dos condutores A e B , em função dos parâmetros da configuração ( α ,   ε ,   d ,   ε 0 ) ;

(b) A capacitância da configuração, em função dos mesmos parâmetros;

(c) A energia fornecida pela bateria, em função dos mesmos parâmetros;

(d) Se o vácuo é substituído por um meio de constante dielétrica igual a k enquanto a conexão da bateria com os condutores é mantida, recalcule os itens (a), (b) e (c);

Em uma fase posterior, a bateria é removida e substituída por um resistor de resistência R . Nesta condição, determine:

(e) A corrente no resistor em função do tempo;

(f) A ddp V A - V B em função do tempo;

(g) A potência dissipada no resistor no início desta fase.

Passo 1

a) Sabemos que:

V = - ∫ E →   .   d l →

No entanto, para esse caso:

V = ε = - ∫ 0 d α Q ε 0 y   d y

Integrando:

ε = - α Q ε 0 y 2 2   | d 0

ε = - α Q ε 0 d 2 2

E então:

Q = 2 ε 0 α ε d 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para encontrar a capacitância, basta usarmos que:

Q = C V

E então:

C = Q V = 2 ε 0 α ε d 2 1 ε → C = 2 ε 0 α d 2

Passo 3

c) A energia armazenada em um capacitor é dada por:

U = C V 2 2

Portanto, neste caso:

U = 2 ε 0 α d 2   ε 2 2 → U = ε 0 ε 2 α d 2

Passo 4

d) A única mudança é a permissividade do meio, que agora será dada por k ε 0 , então:

Q = k 2 ε 0 α ε d 2

C = k 2 ε 0 α d 2

U = k ε 0 ε 2 α d 2

Passo 5

e) Sabemos que, em um circuito RC, a corrente é dada por:

i t = i 0 e - t R C

E também que:

i 0 = ε R

Portanto:

i t = ε R e - t R C

Passo 6

f) A ddp é dada por:

v t = v 0 e - t R C

E:

v 0 = ε

Logo:

V A - V B = ε e - t R C

Passo 7

g) Sabemos que:

P = R i 2

Mas a corrente no início é dada por:

i 0 = ε R

Portanto:

P = R ε 2 R 2 = ε 2 R

Resposta

(a) Q A = 2 ε ε 0 α d 2 e Q B = - Q A

(b) C = 2 ε 0 α d 2  

(c) U = ε 0 ε 2 α d 2  

(d) Q = k 2 ε 0 α ε d 2

C = k 2 ε 0 α d 2

U = k ε 0 ε 2 α d 2

(e) i t = ε e - t R C ' R A; C ' = k C

(f) V A - V B t = ε e - t R C '

(g) P = R i 0 2 = ε 2 R

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