Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Circuitos RC

A vida útil de determinadas baterias termina quando elas fornecem toda a energia interna capaz de manter a sua f e m . Considere uma bateria de f e m   ε = 10   V e com capacidade de energia de 10 5 J . Suponha que a bateria seja ideal (sem resistência interna). Com esta bateria no circuito da Figura 1, onde R 1 = 1,8   Ω   e   R 2 = R 3 = 3,6   Ω , determine:

a ) A potência fornecida pela bateria.

b ) A vida útil neste circuito expressa em horas.

Uma nova bateria do mesmo tipo que a anterior é utilizada no circuito da Figura 2, onde R = 100   Ω e C = 10 - 2 F . Trata-se de um circuito de emissão repetitiva de “flashes” de luz. Quando a voltagem do capacitor atinge 2/3 do seu valor máximo, a lâmpada L emite um “flash” de luz e descarrega-o instantaneamente, repetindo-se o ciclo.

c ) O intervalo de tempo (período) entre “flashes”.

d ) A quantidade de “flashes” emitidos durante a vida útil da bateria.

e ) Em cada ciclo, a razão entre a energia armazenada em C e a dissipada em R .

Passo 1

a ) A potência fornecida pela bateria.

Tem umas fórmulas manjadas para calcular a potência que já te perseguem desde o ensino médio.

P = I ε

P = ε 2 R

P = I 2 R

Qualquer uma delas vai resolver a nossa vida. Mas como o problema já nos deu a f e m e as resistências, é mais jogo aqui calcularmos a resistência equivalente e usarmos a segunda dessas fórmulas que eu coloquei ali em cima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra calcular a resistência equivalente, vamos começar pelos dois resistores em paralelo.

1 R p a r = 1 R 2 + 1 R 3

R p a r = R 2 R 3 R 2 + R 3

Como R 2 = R 3 = 3,6   Ω .

R p a r = 3,6 2 = 1,8   Ω

Agora podemos calcular a resistência equivalente do circuito:

R e q = R 1 + R p a r

Onde R 1 = 1,8   Ω .

R e q = 1,8 + 1,8 = 3,6   Ω

Finalmente, agora podemos calcular a potência fornecida pela bateria.

P = ε 2 R e q

P = 10 2 3,6 = 100 3,6   W

Passo 3

b ) A vida útil neste circuito expressa em horas.

O problema nos disse que a vida útil é o tempo necessário pra bateria gastar toda a sua energia... a energia da bateria aqui vale 10 5   J .

Usando a definição de potência:

P = Δ E Δ t → Δ t = Δ E P

Δ t = 10 5 100 3,6 = 10 5 × 3,6 100

Δ t = 3600 s = 1   h o r a

Passo 4

c ) O intervalo de tempo (período) entre “flashes”.

Em um circuito R C , a voltagem no capacitor obedece a seguinte equação:

V C = ε 1 - e - t τ

Onde τ é a constante de tempo capacitiva, dada por:

τ = R C = 100 × 10 - 2

τ = 1 s

Logo:

V C = ε 1 - e - t

O problema falou que um flash é emitido quando o capacitor atinge 2/3 do seu valor máximo. Então precisamos descobrir quanto tempo levará para que um flash seja emitido.

O valor máximo da voltagem no capacitor é:

V C m á x = ε

Logo:

ε 1 - e - t = 2 3 ε

1 - e - t = 2 / 3

e - t = 1 - 2 3 = 1 3

t = - ln ⁡ 1 3 = ln ⁡ 3

t ≅ 1 , 1 s

Passo 5

d ) A quantidade de “flashes” emitidos durante a vida útil da bateria.

O segredo aqui é encontrarmos a energia dissipada a cada “flash”... assim vamos poder descobrir quantos ”flashes” serão emitidos.

A energia, por definição, pode ser escrita como:

Δ E = ∫ 0 t P   d t

Nesse caso, vamos escrever a potência como ε I t já que, para esse caso, já sabemos que a corrente no capacitor é dada por:

I t = ε R e - t / τ

I t = 0,1   e - t

Agora sim! Como queremos saber a energia dissipada em um “flash” e sabemos que o tempo para que seja disparado um “flash” é de 1 , 1 s , vamos integrar a potência entre 0 e 1,1.

Δ E f l a s h = 10 × 0,1 ∫ 0 1 , 1 e - t   d t

Δ E f l a s h = -   e - 1 , 1 - 1

Δ E f l a s h = 0,667 ≅ 2 3   J

Pra sabermos o número de flash, temos apenas que calcular:

Δ E f l a s h N = Δ E

N = Δ E Δ E f l a s h = 10 5 2 3

N = 1,5 × 10 5   f l a s h e s

Passo 6

e ) Em cada ciclo, a razão entre a energia armazenada em C e a dissipada em R .

  • Capacitor:
  • A energia armazenada no capacitor é dada por:

    E C c i c l o = C V C 2 2

    Em um ciclo, a voltagem no capacitor é igual a 2/3 da voltagem máxima, logo?

    V C = 2 3 V C m á x = 2 3   ε = 20 3

    Logo:

    E C c i c l o = 10 - 2 × 20 3 2 2 = 10 - 2 × 400 9 2

    E C c i c l o = 2 9 J

  • Resistor:

No passo anterior, calculamos a energia dissipada em um flash... parte dessa energia é armazenada pelo capacitor e a outra parte será dissipada pelo resistor.

Logo:

Δ E f l a s h = E C c i c l o + E R c i c l o

E R c i c l o = Δ E f l a s h - E C c i c l o

E R c i c l o = 2 3 - 2 9 = 4 9 J

Assim, a razão é dada por:

E C c i c l o E R c i c l o = 2 9 4 9 = 1 2

Resposta

a )

P = 100 3,6   W

b )

Δ t = 1   h o r a

c )

t ≅ 1,1 s

d )

N = 1,5 × 10 5   f l a s h e s

e )

E C c i c l o E R c i c l o = 1 2

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