Todos os elementos do circuito da Figura ao lado são conhecidos. Inicialmente, os capacitores C 1 e C 2 estão descarregados e a chave S   aberta.

a) Determine a corrente na bateria (indicando seu sentido) imediatamente após o fechamento da chave S .

b) Determine a corrente na bateria (indicando seu sentido) muito tempo após o fechamento da chave S .

c) Determine as tensões nos capacitores C 1 e C 2 (indicando seus sentidos) muito tempo após o fechamento da chave S , assim como as energias neles armazenadas.

d) Após os plenos carregamentos dos capacitores, a chave S   e a bateria são substituídas por um curto e o capacitor C 1 é retirado do circuito e no seu lugar nada é colocado. Determine a resistência equivalente observada a partir dos terminais A e B. Em seguida, caracterize totalmente a corrente no capacitor C 2 em função do tempo (indicando seu sentido).

Passo 1

Cara... Nesse problema aqui, temos que ter em mente de que o capacitor em fontes de corrente contínua tem três momentos interessantes:

  1. No primeiro momento quando a chave é ligada, o capacitor puxa o máximo de corrente pra ele se recarregar, em outras palavras, o capacitor atua como um curto-circuito:
  2. O segundo momento, conhecido como período de transitório, acontece quando o capacitor está sendo carregado.
  3. E o terceiro e último momento, é chamado de momento estacionário, que é quando o capacitor já se carregou completamente e cessa a corrente que passa nele, ou seja, ele se transforma em um circuito aberto:

Passo 2

L e t r a   A :

O problema nesse item nos pede a corrente da fonte i imediatamente após a chave se fechar, ou seja, ela quer a corrente da fonte no 1 ° momento...

POW! Então para encontrar a corrente i temos que resolver esse circuito!

Mas olha que massa esse circuito! A corrente não vai passar pelo resistor 1 e nem pelo resistor 2 nesse primeiro momento! Afinal, a corrente sempre dá preferência para o caminho de menor resistência! Como o curo circuito é considerado como resistência 0 , então é por ele que a corrente passa!

Se a corrente não passa nem pelo resistor 1 e nem pelo resistor 2 a gente pode eliminá-los da brincadeira...

Pela Lei das Malhas, a f e m   ε da fonte é a tensão em cima do único resistor que sobrou no circuito, isto é...

Então, pela Lei de Ohm...

i = ε R 3

Então essa é a corrente que passa na fonte assim que a chave se fechar. Por se tratar de uma corrente momentânea (que acontece apenas no momento inicial), vou chamar de corrente i 0 ...

i 0 = ε R 3

Passo 3

L e t r a   B :

Neste item, opostamente ao item A , vamos trabalhar com o circuito no terceiro momento, ou seja, quando tiver se passado muito tempo após a bateria tiver se logado...

E vamos determinar a corrente i nesse momento...

Para determinar essa corrente, veja que os três resistores estão em série entre si. Então, a resistência total R será...

R = R 1 + R 2 + R 3

A corrente i que sai da fonte então será pela Lei de Ohm...

i = ε R

Portanto...

i = ε R 1 + R 2 + R 3

Como essa corrente é a corrente de estado final que passa pelo circuito, vou chama-la de i f ...

i f = ε R 1 + R 2 + R 3

Passo 4

L e t r a   C :

Novamente nesse item, estamos falando do circuito no terceiro momento...

Repare que o resistor R 1 está em paralelo com o capacitor 1 de cima, portanto a tensão em cima do capacitor C 1 , será a tensão em cia do resistor R 1 ...

E para o R 2 , o capacitor 2 está em paralelo com o resistor 2 de modo que...

Então, para encontrar as tensões em cima dos capacitores, precisamos determinar as tensões em cima dos resistores. Ora... A corrente i f é a corrente que passa por todos os resistores (já que todos estão em série), então, pela Lei de Ohm...

V 1 = R 1 i f = R 1 ε R 1 + R 2 + R 3

V 2 = R 2 i f = R 2 ε R 1 + R 2 + R 3

Passo 5

Tensões encontradas, podemos determinar a energia armazenada em cada capacitor pela fórmula...

E = 1 2 C V 2

Então a energia em cima do capacitor 1 será...

E 1 = 1 2 C 1 V 1 2     →

E 1 = 1 2 C 1 R 1 ε R 1 + R 2 + R 3 2     →

E 1 = 1 2 C 1 R 1 2 ε 2 R 1 + R 2 + R 3 2

E para o capacitor 2 ...

E 2 = 1 2 C 2 R 2 2 ε 2 R 1 + R 2 + R 3 2

Passo 6

L e t r a   D :

Bem, nesse problema da letra D , após os capacitores estarem plenamente carregados, alguém vai lá no circuito e modifica a estrutura original dele, colocando um curto na fonte e na chave e removendo o capacitor C 1 ...

Como o capacitor C 2 está ainda conectado (e completamente carregado), vai surgir uma corrente indo para os resistores...

POW! Repare que a resistência R 1 e R 3 é percorrida pela mesma corrente i 1 , ou seja, essas duas resistências estão em série...

R s é r i e = R 1 + R 2

Só que o ramo de baixo está em paralelo com o ramo de cima (ramo da resistência R 2 ), então a resistência final vista pelo capacitor ( R T ) vai ser o paralelo de R 2 com a resistência série...

R T = R 2 / / R s é r i e

Então, pela regra de paralelo...

R T = R 2 R s é r i e R 2 + R s é r i e = R 2 R 1 + R 2 R 2 + R 1 + R 2

Então essa é a resistência total vista pelo capacitor. É como se pudéssemos substituir todos esses resistores aí por um único resistor conectado com o capacitor de valor R T .

Passo 7

Bem, o problema também pede para caracterizarmos a corrente que circula no capacitor C 2 . Para isso, precisamos saber o módulo da corrente i .

Pow! De acordo com a teoria, a corrente i que surge no capacitor será...

i = V 2 R T   e - t R T C 2

Como R T ...

R T = R 2 R 1 + R 2 R 2 + R 1 + R 2

E o V 2 é a tensão no indutor no momento em que tudo se desconecta...

V 2 = R 2 ε R 1 + R 2 + R 3

Resposta

Letra A:

i 0 = ε R 3

Letra B:

i f = ε R 1 + R 2 + R 3

Letra C:

V 1 = R 1 ε R 1 + R 2 + R 3                 e                         V 2 = R 2 ε R 1 + R 2 + R 3

E 1 = 1 2 C 1 R 1 2 ε 2 R 1 + R 2 + R 3 2                 e                         E 2 = 1 2 C 2 R 2 2 ε 2 R 1 + R 2 + R 3 2

Letra D:

R T = R 2 R 1 + R 2 R 2 + R 1 + R 2

i = V 2 R T   e - t R T C 2

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