Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Unicamp, Física 3, 2019.2, P2, Questão 1.

No circuito da figura, as chaves S 1 e S 2 estão inicialmente abertas e não há corrente no circuito. Dados: R 1 = 4   k Ω , R 2 = 2 K Ω , R 3 = 3 k Ω , C 1 = 2 μ F , C 2 = 2 μ F , C 3 = 4 μ F . ε = 18   V .

a) Calcule a resistência equivalente e a capacitância equivalente do circuito.

b) Se somente a chave S 1 é fechada, calcule a corrente em cada resistor. Desconsidere a resistência interna da fonte.

A partir daqui, considere apenas o circuito equivalente. Suponha que o capacitor equivalente está inicialmente descarregado e apenas a chave S 2 é fechada, criando um circuito R C .

c) Deduza a expressão da carga (medida em μ C ) em função do tempo (medido em s ).

d) Qual será a carga máxima armazenada no capacitor equivalente.

Passo 1

(a) Vamos começar olhando para aquele trecho que tem os resistores. A ideia aqui é encontrar a resistência equivalente:

Os resistores R 1 e R 2 estão em série, então eles podem ser trocados por um único resistor R 1,2 , cuja resistência vai ser:

R 1,2 = R 1 + R 2

Beleza, agora ficamos com dois resistores em paralelo. Lembra da fórmula para encontrar a resistência equivalente nesses casos?

1 R = 1 R 1 + R 2 + 1 R 3

Agora é só resolver essa soma:

1 R = R 1 + R 2 + R 3 R 1 + R 2 R 3

Invertendo os dois lados:

R = R 1 + R 2 R 3 R 1 + R 2 + R 3

E substituindo os valores numéricos:

R = 4 + 2 3 4 + 2 + 3 = 18 9 = 2   k Ω

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a capacitância equivalente:

Os capacitores C 1 e C 2 estão em série. A capacitância equivalente de dois capacitores em série segue essa fórmula aqui:

1 C 1,2 = 1 C 1 + 1 C 2

Resolvendo essa soma:

1 C 1,2 = C 1 + C 2 C 1 C 2

Invertendo os dois lados:

C 1,2 = C 1 C 2 C 1 + C 2

E então:

Agora temos dois capacitores em paralelo. Nesse caso é só somar as capacitâncias para encontrar a capacitância equivalente:

C = C 1,2 + C 3

C = C 1 C 2 C 1 + C 2 + C 3

Substituindo os valores numéricos:

C = 2 2 2 + 2 + 4 = 5   μ F

Passo 3

(b) Quando somente a chave S 1 é fechada, o circuito envolve só a fonte ε e os resistores:

O nosso objetivo aqui é calcular a corrente em cada um dos resistores.

Então o primeiro passo é saber qual é a corrente total I que transita pelo circuito. Pra isso a gente pode aproveitar a resistência equivalente R que calculamos lá em cima.

Pela lei de Ohm:

ε = R I

I = ε R = 18   V 2   k Ω = 9   m A

Como os resistores R 1 e R 2 estão em série, a corrente que passa por eles é a mesma:

I 1 = I 2 = I 1,2

Ou seja, nós só temos duas variáveis aqui: I 1,2 e I 3 , então precisamos de duas equações. A primeira equação nós já temos, porque se a corrente total no circuito é I = 9   m A , então:

I 1,2 + I 3 = I = 9

Já a segunda equação a gente pode encontrar usando a lei das malhas:

Percorrendo a malha nesse sentido, a contribuição de cada resistor para a integral vai ser sua resistência multiplicada pela corrente que passa por ele, então:

∫ E → ∙ d l → = 0

- R 1 I 1,2 - R 2 I 1,2 + R 3 I 3 = 0

E a corrente I 1,2 aparece com um sinal negativo porque está no sentido contrário ao que escolhemos para percorrer a malha.

Ok, ficamos com um sistema de duas equações:

I 1,2 + I 3 = 9 - R 1 I 1,2 - R 2 I 1,2 + R 3 I 3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro reorganizamos um pouco:

I 1,2 + I 3 = 9 R 1 + R 2 I 1,2 = R 3 I 3

Substituindo os valores numéricos:

I 1,2 + I 3 = 9 4 + 2 I 1,2 = 3   I 3

I 1,2 + I 3 = 9 6   I 1,2 = 3   I 3

Dividindo a segunda equação por 3 :

I 1,2 + I 3 = 9 2   I 1,2 = I 3

E substituindo a segunda na primeira:

I 1,2 + 2 I 1,2 = 9

3   I 1,2 = 9         ⇒           I 1,2 = 3   m A

E substituindo isso na segunda equação:

2   I 1,2 = I 3

I 3 = 2   3 = 6   m A

Beleza, então as correntes que passam por cada resistor são:

I 1 = 3   m A I 2 = 3   m A I 3 = 6   m A

Passo 5

(c) A partir de agora, o enunciado pediu para pensarmos somente no circuito equivalente, e com apenas a chave S 2 fechada, ou seja:

Ok, o enunciado quer que a gente deduza a expressão para a carga q no capacitor em função do tempo.

Bom, o primeiro passo pra encontrar essa fórmula no circuito R C é usando a lei das malhas.

∫ E → ∙ d l → = 0

A contribuição da fonte para a integral é – ε , a do capacitor é q t / C e a do resistor é R I t , então:

- ε + R I t + q t C = 0

R I t + q t C = ε

Mas a corrente I é simplesmente a derivada da carga em relação ao tempo. Então:

R d q t d t + 1 C   q t = ε

Agora é só resolver essa equação diferencial para encontrar a carga q t em função do tempo.

Passo 6

O primeiro passo é resolver a equação diferencial homogênea, ou seja, ignorando os termos constantes:

R d q t d t + 1 C   q t = 0

d q t d t = - 1 R C q t

Reorganizando um pouco:

d q q = - 1 R C d t

Agora é só integrar dos dois lados:

∫ d q q = - 1 R C ∫ d t

A integral da esquerda vai dar no ln ⁡ q , e a da direita vai dar simplesmente t (não esqueça de acrescentar a constante):

ln ⁡ q = - 1 R C t + C

Aplicando a exponencial dos dois lados:

q t = e - t R C   + C

E a gente pode transformar aquele C em uma constante nova:

q t = e C e - t R C = A   e - t R C

Beleza, essa é a solução da equação homogênea. Agora temos que encontrar a solução particular da equação inomogênea:

R d q t d t + 1 C   q t = ε

Vamos chutar uma solução constante, do tipo q t = K , nesse caso:

q t = K         ⇒         d q t d t = 0

Então:

R 0 + K C = ε

K = C ε

Ok, agora a solução geral é simplesmente a soma dessas duas soluções:

q t = C ε + A   e - t R C

E falta determinar a constante A usando uma condição inicial. No nosso caso, como o capacitor começa descarregado, temos q 0 = 0 , então:

q 0 = C ε + A e 0 = 0

E como e 0 = 1 :

A = - C ε

Então:

q t = C ε - C ε   e - t R C = C ε 1 - e - t R C

Pronto! Deduzimos a fórmula que o enunciado pediu.

Passo 7

Por último, a gente quer saber qual será a carga máxima no capacitor equivalente.

Pra descobrir isso, é só ver o que acontece com a nossa função q t depois de um tempo t muito longo, ou seja:

q m á x = lim t → ∞ ⁡ q t

q m á x = lim t → ∞ ⁡ C ε 1 - e - t R C

Quando t tende a um valor muito grande, a exponencial vai tender a um valor muito pequeno, então:

q m á x = lim t → ∞ ⁡ C ε 1 - 0 = C ε

Substituindo os valores numéricos:

q m á x = 5   μ F 18   V = 90   μ C

Resolvido!

Resposta

(a) A resistência equivalente é R = 2   k Ω , a capacitância equivalente é C = 5   μ F .

(b) As correntes nos resistores são: I 1 = 3   m A , I 2 = 3   m A e I 3 = 6   m A .

(c) A carga no capacitor é dada por q t = C ε 1 - e - t R C .

(d) A carga máxima do capacitor é q m á x = 90   μ C .

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