Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Considere o circuito da figura onde ε 1 = 10 V , ε 2 = 5 V , R 1 = 500 Ω , R 2 = 20 k Ω , R 3 = 1 k Ω , C 1 = 2 × 10 - 9 F e C 2 = 10 - 9 F . Os capacitores são de placas planas e paralelas separadas de 1   m m e têm capacitâncias dadas por C = ϵ A / d . Todos os capacitores estão inicialmente descarregados. Neste circuito, ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase 1: chaves S 1 e S 3 fechadas simultaneamente e S 2 aberta durante um longo tempo.

Fase 2: chaves S 1 , S 2 e S 3 abertas e, a seguir, a separação das placas de C 1 é triplicada e a de C 2 é duplicada.

Fase 3: chaves S 1 e S 3 abertas e S 2 fechada durante um longo tempo

Determine:

  1. A diferença de potencial V A - V B em função do tempo durante a Fase 1
  2. A energia armazenada nos capacitores no final da fase 2
  3. A intensidade e sentido da corrente em R 2 no início da fase 3
  4. O trabalho necessário para aumentar a separação das placas do capacitor C 1 e a força externa mínima (sem aceleração) na Fase 2. (Sugestão: lembre-se que d U = F e x t d x , sendo x a distância entre as placas)

Passo 1

Quando a chave S 2 está aberta e as chaves S 1 e S 2 estão fechadas, teremos duas malhas, uma na esquerda e outra na direita.

Olhando para a malha da esquerda, temos

ε 1 - R 1 i + q C 1 = 0

Que é a equação de um circuito R C . Nesse caso a voltagem no capacitor é dada por

V C 1 = ε 1 1 - e - t τ 1

Onde

τ 1 = R 1 C 1 = 500 × 2 × 10 - 9 = 10 - 6 s

Como ε 1 = 10 V

V C 1 = 10 1 - e - t 10 - 6

Olhando para a malha da direita, temos

ε 2 - R 3 i + q C 2 = 0

Que é a equação de um circuito R C . Nesse caso a voltagem no capacitor é dada por

V C 2 = ε 2 1 - e - t τ 2

Onde

τ 2 = R 3 C 2 = 1 × 10 3 × 10 - 9 = 10 - 6 s

Como ε 2 = 5 V

V C 2 = 5 1 - e - t 10 - 6

Olhando para o circuito vemos que as voltagens V A e V B são dadas por

V A = V C 1 V B = V C 2

De forma que a diferença V A - V B é dada por

V A - V B = V C 1 - V C 2

V A - V B = 5 1 - e - 10 6 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lembrar da energia potencial de um capacitor

U = 1 2 q 2 C

Ou seja, precisamos da capacitância e da carga em cada um dos capacitores!

Agora vamos lembrar de uma coisa! Na fase 1 carregamos nossos capacitores totalmente (isso por que se passou um tempo longo).

Como na fase 2 abrimos todas as chaves, os nossos capacitores não irão se descarregar. Dessa forma temos que a voltagem em cada um dos capacitores será igual à voltagem das suas respectivas fontes de tensão.

Temos então (antes de mudarmos os capacitores)

q 1 C 1 = ε 1 → q 1 = ε 1 C 1 = 10 × 2 × 10 - 9

q 1 = 2 × 10 - 8 C

E para o segundo capacitor, temos

q 2 C 2 = ε 2 → q 2 = ε 2 C 2 = 5 × 10 - 9

q 2 = 5 × 10 - 9 C

Passo 3

Beleza, beleza!

Agora vamos ver como as capacitâncias são alteradas depois de mudarmos a distância entre suas placas.

A capacitância é dada por

C = ϵ A d

No primeiro capacitor triplicamos a distância entre as placas, isso quer dizer que sua nova capacitância é um terço da capacitância original

C 1 ' = C 1 3 = 2 × 10 - 9 3

C 1 ' = 0,67 × 10 - 9 F

No segundo capacitor duplicamos a distância entre as placas, isso quer dizer que sua nova capacitância é metade da capacitância original

C 2 ' = C 2 2 = 10 - 9 2

C 2 ' = 5 × 10 - 10 F

Passo 4

Show! Agora é só calcular a energia potencial! Só que vamos usar as capacitâncias modificadas, fica ligado!

A energia no capacitor C 1 será

U 1 = 1 2 q 1 2 C 1 ' = 1 2 2 × 10 - 8 2 0,67 × 10 - 9  

U 1 = 3 × 10 - 7 J

A energia no capacitor C 2 será

U 2 = 1 2 q 2 2 C 2 ' = 1 2 5 × 10 - 9 2 5 × 10 - 10

U 2 = 2,5 × 10 - 8 J

Passo 5

Na fase 3 as chaves S 1 e S 3 estarão abertas e a chave S 2 estará fechada, o que faz com que tenhamos uma malha no meio com os dois capacitores totalmente carregados, C 1 e C 2 , e a resistência R 2 .

O capacitor C 1 estava ligado à fonte ε 1 e sua polarização será tal que a placa de cima terá carga positiva e a de baixo terá carga negativa e a mesma coisa acontecerá no capacitor C 2 (que estava ligado à fonte ε 2 ).

Assim usando a lei das malhas, supondo a corrente no sentido anti-horário

q 1 C 1 ' - R 2 i - q 2 C 2 ' = 0

i = 1 R 2 q 1 C 1 ' - q 2 C 2 '

Como queremos saber a corrente no início da fase 3, onde os capacitores estão totalmente carregados, basta usar os valores de q e C ' dos passos anteriores. Assim

i = 1 20 × 10 3 2 × 10 - 8 0,67 × 10 - 9 - 5 × 10 - 9 5 × 10 - 10

i = 10 - 3 A

i = 1 m A

Como achamos a corrente positiva, isso indica que a corrente está no sentido anti-horário.

Passo 6

Na fase 2 aumentamos a distância das placas do capacitor C 1 de 1 m m para 3 m m , mudando a capacitância de C 1 para C 1 ' e mantendo a carga do capacitor.

O trabalho para fazer essa mudança é dado

W = U f i n a l - U i n i c i a l = 1 2 q 1 2 C 1 ' - 1 2 q 1 2 C 1 = 1 2 2 × 10 - 8 2 0,67 × 10 - 9 - 1 2 2 × 10 - 8 2 2 × 10 - 9

W = 2 × 10 - 7 J

Temos que a energia de potencial em um capacitor é dada por

U = 1 2 q 2 C

Como a capacitância é dada por C = ϵ A / x , chamando de x a distância entre as placas

U ( x ) = 1 2 q 2 x ϵ A

Temos que a derivada da energia potencial se relaciona com a força por

F = ∂ U ∂ x

F = 1 2 q 2 ϵ A

Já sabemos no capacitor C 1 a carga q 1 , agora pasta saber quanto vale ϵ 1 A 1 . Isso é facilmente resolvido lembrando que

C 1 = ϵ 1 A 1 d 1 → ϵ 1 A 1 = C 1 d 1

Quando a distância entre as placas é d 1 = 1 m m temos que a capacitância é C 1 = 2 × 10 - 9 F (você poderia usar d 1 = 3 m m e o valor de C 1 ' ), assim

ϵ 1 A 1 = C 1 d 1 = 10 - 3 × 2 × 10 - 9

ϵ 1 A 1 = 2 × 10 - 12

(em unidades do SI)

Assim

F = 1 2 q 2 ϵ A = 1 2 2 × 10 - 8 2 2 × 10 - 12

F = 10 - 4 N

Resposta

(a) V A - V B = 5 1 - e - 10 6 t

(b) U 1 = 3 × 10 - 7 J e U 2 = 2,5 × 10 - 8 J

(c) i = 1 m A no sentido anti-horário.

(d) W = 2 × 10 - 7 J e F = 10 - 4 N

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