Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Circuitos RC

No circuito abaixo têm-se:

ε 1 = 10 V , ε 2 = 2 V , R 1 = 100 Ω , R 2 = 1 k Ω , R 3 = R 4 = 2 k Ω , C 1 = C 2 = C 3 = 0,02 F , inicialmente descarregados.

Considere que o circuito tem as seguintes fases sucessivas:

Fase 1: a chave S 1 é fechada e S 2 permanece aberta durante um tempo muito longo.

Fase 2: a chave S 1 é aberta, S 2 permanece aberta sendo o meio do capacitor C 3 substituído por outro de constante dielétrica duas vezes maior.

Fase 3: a chave S 1 permanece aberta e S 2 é fechada durante um tempo muito longo.

Determinar:

a ) A carga armazenada em cada capacitor no final da fase 1.

b ) A corrente que passa em R 1 em função do tempo durante a fase 1.

c ) A energia fornecida por ambas as baterias durante a fase 1.

d ) A corrente que passa em R 2 em função do tempo durante a fase 3.

e ) A energia fornecida por C 3 na fase 3.

f ) A potência máxima dissipada em R 2 durante a fase 3.

Passo 1

a ) A carga armazenada em cada capacitor no final da fase 1.

Com a chave S 1 fechada e a chave S 2 aberta, o circuito é, basicamente, este:

Quando o problema diz que essa situação permanece assim por um longo tempo, ele quer dizer que no final da fase 1 os capacitores estarão carregados.

Quando os capacitores ficarem completamente carregados, a corrente no circuito será nula, isso significa que não teremos diferença de potencial devido o resistor R 1 . Além disso, os dois ramos de capacitores (um com C 1 e o outro om C 2 e C 3 ) terão a mesma diferença de potencial, já que estão em paralelo.

Capacitor C 1 :

V = Q 1 C 1 → Q 1 = C 1 V

Q 1 = C 1 ε 1 + ε 2

Q 1 = 0,02 10 + 2

Q 1 = 0,24 C

Capacitor C 2 e C 3 :

O primeiro passo aqui é começar calculando a capacitância equivalente entre esses caras. Como eles estão em série, a capacitância equivalente será:

1 C ' = 1 C 2 + 1 C 3 → C ' = C 2 C 3 C 2 + C 3

C ' = 0,02 × 0,02 0,02 + 0,02 = 0,01 F

Logo:

Q ' = C ' V → Q ' = C ' ε 1 + ε 2

Q ' = 0,01 10 + 2

Q ' = 0,12 C

Como C 2 e C 3 estão em série:

Q 2 = Q 3 = Q '

Q 2 = Q 3 = 0,12 C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) A corrente que passa em R 1 em função do tempo durante a fase 1.

Quando o problema fala “durante a fase”, ele está se referindo ao processo de carregamento dos capacitores.

Durante o carregamento, a corrente no circuito será:

i 1 t = V R 1 e - t R 1 C e q

i 1 t = ε 1 + ε 2 R 1 e - t R 1 C e q

Então, o que temos que fazer aqui é calcular a capacitância equivalente do circuito.

Na letra a , nós calculamos a capacitância equivalente C ' referente aos capacitores em série C 2 e C 3 . Logo, como C 1 e C ' estão em paralelo, a capacitância equivalente será dada por:

C e q = C 1 + C '

C e q = 0,03 F

Portanto, a corrente que passa por R 1 será:

i 1 t = ε 1 + ε 2 R 1 e - t R 1 C e q

i 1 t = 10 + 2 100 e - t 100 × 0,03

i 1 t = 0,12   e - t 3   A

Passo 3

c ) A energia fornecida por ambas as baterias durante a fase 1.

A potência fornecida por ambas as baterias é dada por:

P = V i 1 → P = ε 1 + ε 2 i 1 ( t )

Por definição, potência e energia estão relacionados por:

P = d U d t

Logo:

U = ∫ 0 ∞ P   d t = ∫ 0 ∞ ε 1 + ε 2 i 1 t   d t

U = ∫ 0 ∞ 12 × 0,12   e - t 3   d t = 1,44 ∫ 0 ∞ e - t 3   d t

U = ∫ 0 ∞ 12 × 0,12   e - t 3   d t = 1,44 - 3 e - t 3 0 ∞

U = 1,44 0 + 3

Finalmente:

U = 4,32   J

Passo 4

d ) A corrente que passa em R 2 em função do tempo durante a fase 3.

Antes de irmos direto para a fase 3, vamos dar uma olhada no que aconteceu na fase 2.

Na fase 2, nós mudamos o capacitor C 3 por outro de constante dielétrica duas vezes maior, logo:

C 3 ' = 2 C 3 = 0,04 F

Lembrando que o capacitor C 3 ' continua carregado, conforme o final da fase 1.

Q 3 ' = Q 3 = 0,12 C

Agora, na fase 3, quando mantemos a chave S 1 aberta e fechamos a chave S 2 , o capacitor C 3 vai entrar em processo de descarga, e o circuito será, basicamente este:

A corrente durante o descarregamento do capacitor C 3 será:

i 2 = - Q 3 ' R e q C 3 ' e - t R e q C 3 '

Beleza. A única coisa que não temos daqui é a resistência equivalente. Pra calculá-la, vamos começar pelos resistores R 3 e R 4 , que estão em paralelo.

1 R ' = 1 R 3 + 1 R 4

R ' = R 3 R 4 R 3 + R 4

R ' = 2000 × 2000 2000 + 2000 = 1000   Ω

Assim, a resistência equivalente será:

R e q = R 2 + R '

R e q = 1000 + 1000

R e q = 2000 Ω

Assim, a corrente que passa pelo resistor 2 será:

i 2 = - 0,12 2000 × 0,04 e - t 80

i 2 = - 1,5 × 10 - 3 e - t 80   A

i 2 = - 1,5   e - t 80   m A

O sinal negativo apenas denota o sentido em que a corrente está se deslocando. Assim, o módulo da corrente que passa por R 2 será:

i 2 = 1,5   e - t 80   m A

Passo 5

e ) A energia fornecida por C 3 na fase 3.

Aqui, a energia fornecida por C 3 será toda a energia armazenada no capacitor no início da fase 3, logo:

U = Q 3 ' 2 2 C 3 ' = 0,12 2 2 × 0,04

U = 0,18   J

Passo 6

f ) A potência máxima dissipada em R 2 durante a fase 3.

A potência dissipada em um resistor é dada por:

P = R i 2

Como queremos calcular a potência máxima dissipada em R 2 :

P m á x = R 2 i m á x 2

P m á x = 1000 × 1,5 × 10 - 3 2

P m á x = 2,25 × 10 - 3 W

P m á x = 2,25   m W

Resposta

a )

Q 1 = 0,24 C

Q 2 = Q 3 = 0,12 C

b )

i 1 t = 0,12   e - t 3   A

c )

U = 4,32   J

d )

i 2 = 1,5   e - t 80   m A

e )

U = 0,18   J

f )

P m á x = 2,25   m W

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