Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Circuitos

No circuito abaixo, no instante t = 0 (chave S aberta).

O capacitor encontra-se descarregado. Considerando que a bateria que alimenta o circuito é ideal e com força eletromotriz ε , calcule, após o fechamento da chave S :

a ) A corrente que atravessa o capacitor, imediatamente após o fechamento de S ;

b ) A corrente que passa pelo resistor R 3 , imediatamente após o fechamento de S ;

c ) A corrente que atravessa pela chave S e a carga no capacitor em t → ∞ ;

d ) A carga do capacitor e a corrente que atravessa os resistores R 1 e R 2 em função do tempo;

Passo 1

a ) A corrente que atravessa o capacitor, imediatamente após o fechamento de S ;

Imediatamente após o fechamento de S , a carga no capacitor ainda é nula, logo, a diferença de potencial entre os terminais do capacitor também será nula.

Basicamente, o que vai acontecer é que a corrente vai sair da fonte, passar pelo resistor R 1 e a corrente vai toda para o capacitor (onde não há diferença de potencial), seguindo para R 2 antes de retornar à fonte.

Essa corrente é dada por:

I C = ε R 1 + R 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) A corrente que passa pelo resistor R 3 , imediatamente após o fechamento de S ;

Conforme discutimos na letra a , como a diferença de potencial no capacitor imediatamente após o fechamento de S é nula, nesse instante, toda a corrente flui para o capacitor.

Assim, a corrente que passa por R 3 imediatamente, após o fechamento de S , é nula.

I 3 = 0

Passo 3

c ) A corrente que atravessa pela chave S e a carga no capacitor em t → ∞ ;

Em t → ∞ , o capacitor está completamente carregado, não passando mais nenhuma corrente pode ele. Assim, toda a corrente agora vai para o resistor R 3 .

Portanto, a corrente, agora, no circuito será:

I ∞ = ε R 1 + R 2 + R 3

Nesse momento, a diferença de potencial no capacitor será, de acordo com a Lei das malhas:

R 3 I 3 - q ∞ C = 0 → q ∞ = R 3 C I 3

Onde I 3 = I ∞ . Logo:

q ∞ = R 3 C I ∞

q ∞ = R 3 C ε R 1 + R 2 + R 3

Passo 4

d ) A carga do capacitor e a corrente que atravessa os resistores R 1 e R 2 em função do tempo;

De acordo com a Lei das malhas de Kirchhoff, percorrendo a malha que possui a fonte ε , os resistores R 1 e R 2 e o capacitor C , teremos:

ε - R 1 + R 2 I 1 - q C = 0

Percorrendo a malha que possui o capacitor e o resistor R 3 , teremos:

R 3 I 3 - q C = 0 → I 3 = q R 3 C

De acordo com a Lei dos nós de Kirchhoff, teremos:

I 1 = I 2 + I 3

Ok... voltando para a primeira equação, podemos reescrevê-la como:

ε - R 1 + R 2 I 2 + I 3 - q C = 0

Substituindo I 3 pelo que encontramos pela lei das malhas:

ε - R 1 + R 2 I 2 + q R 3 C - q C = 0

Vamos dar uma ajeitada nesse cara:

ε - R 1 + R 2 I 2 - R 1 + R 2 R 3 q C - q C = 0

ε - R 1 + R 2 I 2 - R 1 + R 2 + R 3 R 3 q C = 0

I 2 nesse caso é a corrente que atravessa o capacitor.

A equação acima nos leva a uma equação diferencial, já que I 2 = d q / d t .

ε - R 1 + R 2 d q d t - R 1 + R 2 + R 3 R 3 q C = 0

d q d t + R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 q - ε R 1 + R 2 = 0

O próximo passo agora é resolver a equação diferencial.

Passo 5

d q d t + R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 q - ε R 1 + R 2 = 0

Pra começar, vamos dar uma simplificada nesse cara, vamos chamar de A e B os seguintes caras:

A = R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2

B = ε R 1 + R 2

Assim:

d q d t + A q - B = 0

Melhorou bastante. Bom, essa é uma equação separável, então vamos lá:

d q d t = B - A q

∫ 0 q t d q B - A q = ∫ 0 t d t

- 1 A ln ⁡ B - A q t B = t

ln ⁡ B - A q t B = - A t

B - A q t B = e - A t

- A q t = B e - A t - B

A q t = B 1 - e - A t

q t = B A 1 - e - A t

Substituindo de volta as expressões de A e B , teremos:

q t = ε R 1 + R 2 R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 1 - e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

Arrumando esse cara, finamente, teremos:

q t = R 3 C ε R 1 + R 2 + R 3 1 - e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

Agora temos que determinar a corrente nos resistores R 1 e R 2 em função do tempo.

Passo 6

A corrente que passa pelos resistores R 1 e R 2 é a corrente I 1 . De acordo com a Lei dos nós:

I 1 = I 2 + I 3

Então o nosso trabalho aqui é determinar I 2 e I 3 .

A corrente I 2 é dada por:

I 2 = d q t d t

I 2 = R 3 C ε R 1 + R 2 + R 3   R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

Simplificando esse cara, teremos:

I 2 = ε R 1 + R 2   e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

A corrente I 3 é dada por:

I 3 = q R 3 C

Substituindo a expressão de q t , teremos:

I 3 = 1 R 3 C   R 3 C ε R 1 + R 2 + R 3 1 - e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

Simplificando esse cara:

I 3 =   ε R 1 + R 2 + R 3 1 - e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

Finalmente:

I 1 = ε R 1 + R 2   e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t + ε R 1 + R 2 + R 3 1 - e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

I 1 = ε R 1 + R 2 - ε R 1 + R 2 + R 3   e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t + ε R 1 + R 2 + R 3

Resposta

a )

I 0 = ε R 1 + R 2

b )

I 3 = 0

c )

I ∞ = ε R 1 + R 2 + R 3

q ∞ = R 3 C ε R 1 + R 2 + R 3

d )

q t = R 3 C ε R 1 + R 2 + R 3 1 - e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t

I 1 = ε R 1 + R 2 - ε R 1 + R 2 + R 3   e - R 1 + R 2 + R 3 R 3 C R 1 + R 2 t + ε R 1 + R 2 + R 3

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